Podręcznik: Przypadek 1: „Najpierw równolegle, potem szeregowo”

2. Dopasowanie impedancji – Rozwiązanie analityczne

2.1. Przypadek 1: „Najpierw równolegle, potem szeregowo”

W tym punkcie podejmiemy przedstawienie analitycznego rozwiązania problemu dopasowania. Obiektem naszej analizy będzie obwód pokazany na rys.3.11. Dopasowujemy rezystancję obciążenia R_Ldo rezystancji wewnętrznej R_W generatora. Obwód dopasowujący będzie konstruowany z możliwie najmniejszej liczby elementów reaktancyjnych L,C.

Rys.3.11. Obwód dopasowujący czystą rezystancję R_L do Z₀.

W tym punkcie pierwszym elementem włączonym równolegle do obciążenia będzie susceptancja B_R.
Rys.3.12. Ilustracja transformującego działania równoległej susceptancji BR.

Pierwszym krokiem procedury dopasowania będzie włączenie równoległej susceptancji B_R:

$\mathrm{Y _{WE}=\frac{1}{Z_{WE}}}=\frac{1}{R_{L}}+jB_R$

(3-16)

Obliczamy teraz impedancją Z_WE – (3-17):

$\mathrm{Z _{WE}=\frac{1}{Y_{WE}}}=\frac{R_{L}}{1+B_R^{2}R_{L}^{2}}-j\frac{B_RR_L}{1+B_R^{2}R_{L}^{2}}=R_S-jX_S;$

(3-17)

Znajdujemy części rzeczywistą R_S i urojoną –X_S tej impedancji. Zauważamy, że przez dobór wartości B_R można uzyskać żądaną wartość rezystancji R_S. Dołączenie równoległe – jak widać z zależności (3-18) - powoduje, że R_S≤ R_L. Ta droga może być użyteczna, gdy dla przykładu dopasowujemy R_L=100Ω do R_W=50Ω.

$R_S=\frac{R_{L}}{1+B_R^{2}R_{L}^{2}}\leq R_L;$

(3-18)

Tak więc dobierając B_R uzyskujemy R_S=R_W. Pozostaje nam jednak szeregowa reaktancja –X_S.

$X_S=\frac{B_RR_{L}^{2}}{1+B_R^{2}R_{L}^{2}};$

(3-19)

Możemy ją skompensować dodając szeregową reaktancję przeciwnego znaku.
Po krótkich przekształceniach można przedstawić receptę na dopasowania. Najpierw obliczamy Q ze wzoru (3-20):

$Q=\sqrt{\frac{R_L}{R_W}-1};$

(3-20)

Jeżeli zdecydujemy się umieścić indukcyjność jako element równoległy, a pojemność jako element szeregowy, to ich reaktancje X_R i X_S obliczamy z zależności (3-21). Otrzymany obwód pokazano na rys. 3.13A.

$X_R=\frac{R_L}{Q};\, \, X_S=-QR_W;$

(3-21)

Jeżeli pojemność będzie elementem równoległym, a indukcyjność elementem szeregowym, to ich reaktancje X_Ri X_S obliczamy z zależności (3-22). Otrzymany obwód pokazano na rys.3.13A.

$X_R=-\frac{R_L}{Q};\, \, X_S=QR_W;$

(3-22)

W wyborze obwodu może być pomocny fakt, że obwód z rys.3.13A zachowuje się w funkcji częstotliwości jak filtr górnoprzepustowy, a obwód z rys.3.13B jak filtr dolnoprzepustowy.

Rys.3.13. Para elementów LC dopasowuje rezystancję RL.
A) Równolegle włączonym elementem jest indukcyjność LR.
B) Równolegle włączonym elementem jest pojemność CR.

Aby obliczyć wartości pojemności i indukcyjności należy znać częstotliwość, dla której rezystancja obciążenia została dopasowana do rezystancji wewnętrznej generatora. Wzory są nam dobrze znane.