Podręcznik: Opis sygnałów

2. Sygnały telekomunikacyjne

2.2. Opis sygnałów

Sygnał może być reprezentowany za pomocą zależności jakiejś lub jakiś jego cech od czasu. Nie zawsze taka reprezentacja jest wystarczająca. Innym sposobem jest reprezentacja graficzna. Bardzo często wygodnie jest obliczyć widmo sygnału, korzystając z przekształcania sygnału za pomocą szeregu Fouriera, transformaty Fouriera, dyskretnego szeregu Fouriera albo dyskretnej transformaty Fouriera uzyskując w ten sposób informację o widmie amplitudowym albo widmowej gęstości mocy i widmie fazowym. Tematyka ta jest poruszana w wielu innych przedmiotach i dlatego tu ograniczymy się tylko do pewnych istotnych cech wyników przekształceń fourierowskich.

Jeżeli sygnał x(t) jest sygnałem analogowym, rzeczywistym i okresowym o okresie T₀ (częstotliwości podstawowej f₀ ) to może on być przedstawiony jako suma sygnałów sinusoidalnych o różnych amplitudach, fazach i częstotliwościach będących wielokrotnościami częstotliwości podstawowej (rysunek 1.2):

$x(t)=A_0+\sum_{i=1}^{\infty }A_i\sin (2\pi f_it+\varphi _i)$

gdzie: A_i– amplituda, f_i– częstotliwość, φ_i – faza.

Rys. 1.2. Sygnał okresowy przedstawiony jako suma sygnałów sinusoidalnych

Granica sumowania może być liczbą skończoną albo nie. Widmo X(f_i) sygnału otrzymane w wyniku obliczania szeregu Fouriera jest prążkowe i składa się z prążków (delt Diraca):

$????(????_????)=|????(????_????)|????^{−2????????????(????_????)}$

i ma następującą cechę (rysunek 1.3):

$????(????_????)=????^∗(−????_????)$

Rys.1.3. Widmo sygnału okresowego

Moduł, czyli widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a widmo fazowe funkcją nieparzystą:

$|????(????_????)|=|????(−????_????| \,\mathrm{ oraz }\, φ( ????_????)=−φ( −????_????)$

Zależności te można rozszerzyć na dowolne sygnały analogowe rzeczywiste, niekoniecznie okresowe. Wtedy jednak należy mówić o widmowej gęstości mocy, a nie amplitudzie. W telekomunikacji bardzo często posługujemy się pojęciem pasma częstotliwościowego sygnału. Sygnały o ograniczonym paśmie to takie, których widmo ma wartość zerową poza pewnym przedziałem częstotliwości [f_d; f_g]. Szerokość pasma B jest równa szerokości przedziału, tj. różnicy f_g - f_d.

W przypadku sygnałów dyskretnych rzeczywistych, a także cyfrowych widmo sygnału ma nieco inne cechy. Jeżeli sygnał składa się z N próbek, to dyskretna transformata Fouriera DFT (Discrete Fourier Transform) takiego sygnału jest obliczana ze wzoru:

$X(i)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi in}{N}}$

a transformata odwrotna IDFT (Inverse DFT) ze wzoru:

$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}X(i)e^{-j\frac{2\pi in}{N}}$

gdzie n – numer próbki sygnału, i – numer harmonicznej, harmonicznej o numerze i odpowiada częstotliwość f_i:

$????_????=????\frac{1}{????_0}.$

W powyższych wzorach przyjęliśmy ograniczenie na liczbę harmonicznych – jest ich tyle samo co próbek sygnału. W wyniku obliczania transformaty DTF otrzymujemy widmo dyskretne:

$????(????)=|????(????)|????^{−????????(????)}$

Gdyśmy obliczali transformatę DTF również dla i spoza zakresu [0;N-1] to okazałoby się, że wyniki obliczeń powtarzają się z okresem 2N. W przypadku sygnałów rzeczywistych obowiązuje zależność (rysunek 1.4):

$????(????)=????^∗(2????−????)$

W przypadku tych sygnałów nie ma potrzeby rozpatrywania widma poza przedziałem [0;2N-1].

W znaczącej mierze zastąpienie telekomunikacji analogowej telekomunikacją cyfrową spowodowane zostało możliwościami zastąpienia większości operacji na sygnałach analogowych operacjami matematycznymi. Należy jednak pamiętać, że w rzeczywistości wszystkie transmitowane sygnały są sygnałami analogowymi a jedynie interpretujemy je jako sygnały cyfrowe. W wielu przypadkach sygnały analogowe przed ich dalszym przetwarzaniem i transmisją wymagają cyfryzacji. Do takich sygnałów należą sygnały akustyczne, w tym sygnał mowy ludzkiej. Zamiana postaci takich sygnałów z analogowej na cyfrową wymaga wykonania dwóch operacji: próbkowania i kwantyzacji. Oczywiście obie te operacje muszą mieć takie cechy, by powrót do sygnału analogowego był możliwy bez jakichkolwiek zniekształceń sygnału oryginalnego, a przynajmniej by zniekształcenia były akceptowalne.

Rys.1.4. Widmo amplitudowe rzeczywistego sygnału dyskretnego

Po próbkowaniu sygnału analogowego otrzymujemy sygnał dyskretny. Powrót do sygnału analogowego bez zniekształceń jest możliwy (przynajmniej teoretycznie), jeżeli częstotliwość próbkowania ???????? spełnia następujący warunek:

$????_????>2????_{????????????}$

gdzie f_max oznacza górną granicę pasma częstotliwościowego sygnału próbkowanego.

W praktyce możliwe jest zastąpienie nierówności ostrej nierównością nieostrą. W szczególnych przypadkach, na przykład, gdy próbkowany jest sygnał sinusoidalny o częstotliwości f_max z częstotliwością dwukrotnie większą od niej otrzymujemy wtedy dwie próbki na okres, z których nie jesteśmy w stanie odtworzyć ponownie sygnału sinusoidalnego.

Rys.1.5. Ilustracja graficzna błędu kwantyzacji

Operacja kwantowania polega na zastąpieniu rzeczywistej wartości próbki sygnału dyskretnego jedną z wartości ze zbioru o skończonej liczności. Na rysunku 1.5 pokazano przykład operacji próbkowania i kwantowania. Między wartością próbki sygnału dyskretnego, a jej wartością w sygnale cyfrowym jest różnica nazywana błędem, albo szumem kwantyzacji. Każdemu poziomowi kwantyzacji można przypisać sekwencję trzybitową ponieważ poziomów jest osiem (2³=8). Liczność zbioru ma wpływ na wielkość szumu kwantyzacji. Im poziomów kwantyzacji jest więcej, tym szum jest mniejszy, ale więcej bitów reprezentuje każdy poziom.