Podręcznik: Modulacje cyfrowe

3. Konwersja sekwencji bitów na sygnał

3.1. Modulacje cyfrowe

est wiele rodzajów modulacji cyfrowych. Najogólniej można powiedzieć, że sprowadzają się one do zastąpienia pojedynczego bitu lub większej liczby bitów (bloku bitów, np. oktetu) sygnałem będącym kawałkiem sygnału sinusoidalnego lub impulsem prostokątnym o określonej amplitudzie i czasie trwania. Utworzony w ten sposób, dla sekwencji wielu bitów sygnał ma pewne widmo, które w maksymalny sposób powinno być dopasowane do transmitancji kanału transmisyjnego, co jest jednym z celów zastosowania modulacji. Modulacja cyfrowa powinna być w maksymalnym stopniu odporna na zakłócenia, tak by po stronie odbiorczej wiernie odtworzyć przesyłaną sekwencję bitów.
Sygnał sinusoidalny jest w pełni scharakteryzowany przez jego częstotliwość, amplitudę i fazę. Modulacje cyfrowe ustawiają te parametry w zależności od bitu (0 albo 1) lub bloku bitów. Parametry te zmieniają się wraz ze zmianą wartości logicznej bitu albo sekwencji bitów.

Rys.1.6. Modulacje jednowartościowe

W najprostszym przypadku zmiana podąża za zmianami kolejnych bitów z sekwencji i zmianie ulega tylko jeden z wymienionych parametrów sygnału sinusoidalnego. Tak działają modulatory jednowartościowe z kluczowaniem (zmianą) amplitudy, częstotliwości albo fazy – rysunek 1.6. Każdy z parametrów, w przypadku tych modulacji może przyjmować jedną z dwóch wartości.
Bardziej skomplikowane są modulacje wielowartościowe. Najbardziej przydatne z nich to modulacje, w których zmianie ulega faza sygnału sinusoidalnego M-PSK (Phase Shift Keying). W tym przypadku faza sygnału może przyjmować więcej niż dwie wartości, na przykład 4-PSK (inaczej QPSK), 8-PSK, 16-PSK itd. Jeden „kawałek” sygnału sinusoidalnego niesie informację o m bitach, gdzie $m={\mathrm{log}}_\mathrm{2}M$ .
We współczesnych zastosowaniach telekomunikacyjnych olbrzymie znaczenie mają modulacje wielowartościowe, ale dodatkowo wielowymiarowe. Wielowymiarowość oznacza, że więcej niż jeden parametr sygnału sinusoidalnego jest ustawiany w zależności od wartości logicznej bitów. Bardzo ważnym przykładem jest kwadraturowa modulacja amplitudy QAM-M (Quadrature Amplitude Modulation). Z trygonometrii wiadomo, że:

$\sin⁡(????+????)=\cos????\sin????+\sin????\cos????.$

Stosując to przekształcenie dla sygnału sinusoidalnego x(t) otrzymujemy:

$x(t)=A(t)\sin⁡[2????ft+????(t)]=A(t)\cos(????t)\sin⁡(2????ft)+A(t)\sin(????t)cos(2????ft).$

Zapiszmy to równanie następująco:

$x(t)=x_Q(t)\sin (2\pi ft)+x_I\cos (2\pi ft),$

gdzie: $x_Q(t)=A(t)\cos????(t), x_I(t)=A(t)\sin????(t).$

Sygnał x(t) ma dwie składowe kwadraturową (Q) i synfazową (I). Składowe te są wzajemnie ortogonalne (prostopadłe), co ilustruje rysunek 1.7, a to oznacza, że nie wpływają na siebie (zmiana jednej składowej nie zmienia drugiej składowej). Z matematycznego punktu widzenia dwa sygnały x₁(t) i x₂(t) są ortogonalne w przedziale [t1 ; t₂] jeżeli spełniony jest następujący warunek:

$\int_{t_1}^{t_2}x_1(t)x_2(t)=0.$

Rys.1.7. Składowe synfazowa i kwadraturowa

Modulacja QAM-M jest modulacją wielowartościową. Liczba bitów reprezentowanych przez pojedynczy symbol zależy od M. Na rysunku 1.8 pokazano przykładową, tak zwaną konstelację modulacji QAM-16. Każdemu punktowi konstelacji, a jest ich w tym przypadku 16 odpowiada inna kombinacja amplitudy i fazy sygnału sinusoidalnego (inna kombinacja składowych: kwadraturowej i synfazowej) i każdemu punktowi odpowiada inna kombinacja czterech bitów. Należy zaznaczyć, że im więcej punktów ma konstelacja i im są one bardziej skupione wokół środka układu współrzędnych, tym większe jest niebezpieczeństwo przekłamania bitów w wyniku zakłóceń i zniekształceń wnoszonych w kanale transmisyjnym.

Rys.1.8. Przykład konstelacji QAM-16

W modulacji QAM założono stałość częstotliwości – częstotliwość nie jest modulowana. W systemach dostępowych i komunikacji radiowej stosuje się, tak zwane modulacje wielotonowe, w których używa się nie jednej częstotliwości sygnału sinusoidalnego, lecz wielu częstotliwości (wielu nośnych) równocześnie. Dla każdej nośnej są określane parametry modulacji QAM, takie jak wartościowość modulacji M i skupienie konstelacji. Modulacje wielotonowe występują pod nazwami OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) albo DMT (Discrete Multi-Tone).
Dotychczas skupiliśmy się na modulowaniu sygnału sinusoidalnego, ale nie jest to jedyny rodzaj sygnału niosącego informacje cyfrowe. Drugą popularną grupą sygnałów są impulsy prostokątne. O ile widmo sygnału sinusoidalnego jest prążkowe (delta Diraca) to widmo impulsu prostokątnego jest nieograniczone w dziedzinie częstotliwości. Zawiera się ono w zakresie częstotliwości $(-\infty;+\infty)$ . W modulacjach cyfrowych sygnał sinusoidalny jest kluczowany z okresem T, co oznacza, ze czas trwania sygnału sinusoidalnego jest ograniczany do czas T. Tym samym postać sygnału odpowiadającego danemu bitowi lub sekwencji bitów po wykonaniu modulacji jest następująca:

$\bar{x}\left(t\right)=x\left(t\right)\bullet w\left(t\right),$

gdzie w(t) jest tak zwanym oknem wagowym.
W najprostszym przypadku okno wagowe jest oknem prostokątnym:

$\left\{\begin{matrix} 1; & t\in [0;T]\\ 0;& \mathrm{pozostale\, t} \end{matrix}\right.$

Widmo sygnału $\bar{x}\left(t\right)$ jest splotem widma sygnału sinusoidalnego i widma okna (rysunek 1.9). Postać okna wagowego ma zatem istotny wpływ na widmo sygnału $\bar{x}\left(t\right)$ . Dlatego zamiast okna prostokątnego często używa się innych typów okien, których właściwości widmowe są korzystniejsze, na przykład okna Hamminga, o kształcie podniesionego sygnału kosinusoidalnego o okresie T.

Rys.1.9. Splot widma okna wagowego i widma sygnału sinusoidalnego (uwaga: pokazana jest widmowa gęstość mocy tylko dla dodatnich częstotliwości