Podręcznik

Standardowo zmienne stanu są oznaczane jako \( x_1,x_2,\cdots,x_j,\cdots,x_n \), natomiast zmienne sterujące jako \( u_1,u_2,\cdots,u_k,\cdots,u_m \). W naszych rozważaniach odnośnie układów regulacji nie będziemy badać wpływu wartości stałych na własności modelu (tzw. {\bf analiza wrażliwościowa}), dlatego nie trzeba osobno oznaczać stałych i można je traktować jako część definicji funkcji prawych stron. Równania stanu mają w ogólnym przypadku postać

\( \begin{eqnarray} \dfrac{dx_1(t)}{dt} &=& f_1(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t),u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,u_m(t)) \qquad(1.37) \\ &\vdots& \\ \dfrac{dx_i(t)}{dt} &=& f_i(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t),u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,u_m(t)) \qquad(1.38) \\ &\vdots& \nonumber \\ \dfrac{dx_n(t)}{dt} &=& f_n(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t),u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,u_m(t)) \qquad(1.39) \end{eqnarray} \)

gdzie \( f_1,\cdots,f_i,\cdots,f_n \) oznaczają (w ogólnym przypadku nieliniowe) funkcje prawych stron równań stanu.

 Dla skrócenia zapisu tworzy się wektory zmiennych stanu oraz zmiennych sterujących

\( \begin{equation} x(t) = \left( \begin{array}{c} x_1(t)\\ \vdots\\ x_j(t) \\ \vdots\\ x_n(t) \end{array} \right),\ u(t) = \left( \begin{array}{c} u_1(t)\\ \vdots\\ u_k(t) \\ \vdots\\ u_m(t) \end{array} \right) \qquad(1.40) \end{equation} \)

Równania stanu (1.37)-(1.39}) przyjmują wtedy postać

\( \begin{eqnarray} \dfrac{dx_1(t)}{dt} &=& f_1(x(t),u(t)) \qquad(1.41) \\ &\vdots& \nonumber \\ \dfrac{dx_i(t)}{dt} &=& f_i(x(t),u(t)) \qquad(1.42)\\ &\vdots& \nonumber \\ \dfrac{dx_n(t)}{dt} &=& f_n(x(t),u(t)) \qquad(1.43) \end{eqnarray} \)

Jeżeli wprowadzimy nowe wektory

\( \begin{equation} \dfrac{dx(t)}{dt} = \left( \begin{array}{c} \dfrac{dx_1(t)}{dt} \\ \vdots\\ \dfrac{dx_i(t)}{dt} \\ \vdots\\ \dfrac{dx_n(t)}{dt} \end{array} \right),\ f(x(t),u(t)) = \left( \begin{array}{c} f_1(x(t),u(t))\\ \vdots\\ f_i(x(t),u(t)) \\ \vdots\\ f_n(x(t),u(t)) \end{array} \right) \end{equation}\qquad(1.44) \)

to równania (1.41)-(1.43) upraszczają się do postaci

\( \begin{equation} \dfrac{dx(t)}{dt} = f(x(t),u(t)) \label{eq:ch1:rownaniaStanuWektorowo}\qquad(1.45 \end{equation}) \)

Często pomija się także podawanie czasu jako argumentu zmiennych stanu i sterowań, i równania stanu przyjmują postać

\( \begin{equation} \dfrac{dx}{dt} = f(x,u) \qquad(1.46) \end{equation} \)

Można również rozważać równania stanu, w których zmienna czasu występuje w sposób jawny

\( \begin{equation} \dfrac{dx(t)}{dt} = f(x(t),u(t),t) \qquad(1.47) \end{equation} \)

W takim przypadku w równaniach stanu oprócz zmiennych stanu, sterowań i stałych mogą pojawiać się funkcje czasu np.: \( sin(\dfrac{t}{1+t^2}) \). Obiekty w których opisie jawnie występuje zmienna \( t \) nazywamy  niestacjonarnymi, natomiast obiekty w których opisie nie występuje jawnie zmienna \( t \) nazywamy stacjonarnymi. W naszych rozważaniach skupiamy się na obiektach stacjonarnych, ale analogiczne rozważania można przeprowadzić także dla układów niestacjonarnych.

Aby rozwiązać równania stanu w postaci ogólnej, konieczne jest określenie warunków początkowych dla zmiennych stanu tzn. wielkości \( x_1(t_0) \),...,\( x_j(t_0) \),...,\( x_n(t_0) \), gdzie \( t_0 \) jest wybraną chwilą początkową. Warunki początkowe można zapisać w postaci wektorowej wprowadzając oznaczenie

\( \begin{equation} x(t_0) = \left( \begin{array}{c} x_1(t_0)\\ \vdots\\ x_j(t_0) \\ \vdots\\ x_n(t_0) \end{array} \right) \qquad(1.48) \end{equation} \)

Równania stanu dla układu trzech zbiorników

\( \begin{eqnarray} \dfrac{d H_1(t)}{dt} &=& \dfrac{1}{A}Q_{we}(t) - \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} \qquad(1.49) \\ \dfrac{d H_2(t)}{dt} &=& \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} - \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} \qquad(1.50) \\ \dfrac{d H_3(t)}{dt} &=& \dfrac{\alpha}{2A} \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} - \dfrac{\alpha}{2A} \sqrt{H_3(t)} \qquad(1.51) \end{eqnarray} \)

można zapisać w  ogólnej postaci wektorowej (1.45) poprzez wprowadzenie oznaczeń

\( \begin{eqnarray} x(t) &=& \left( \begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} H_1(t)\\ H_2(t) \\ H_3(t) \end{array} \right) \qquad(1.52)\\ x(t_0) &=& \left( \begin{array}{c} x_1(t_0)\\ x_2(t_0) \\ x_3(t_0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} H_1(t_0)\\ H_2(t_0) \\ H_3(t_0) \end{array} \right) \qquad(1.53)\\ \dfrac{dx(t)}{dt} &=& \left( \begin{array}{c} \dfrac{dx_1(t)}{dt} \\ \dfrac{dx_2(t)}{dt} \\ \dfrac{dx_3(t)}{dt} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{dH_1(t)}{dt} \\ \dfrac{dH_2(t)}{dt} \\ \dfrac{dH_3(t)}{dt} \end{array} \right) \qquad(1.54)\\ u(t) &=& \left(u_1(t)\right) = \left(Q_{we}(t)\right)\qquad(1.55) \end{eqnarray} \)

oraz

\( \begin{eqnarray} f(x(t),u(t)) &=& \left( \begin{array}{c} f_1(x_1(t),x_2(t),x_3(t),u_1(t)) \\ f_2(x_1(t),x_2(t),x_3(t),u_1(t)) \\ f_3(x_1(t),x_2(t),x_3(t),u_1(t)) \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array}{c} f_1(H_1(t),H_2(t),H_3(t),Q_{we}(t)) \\ f_2(H_1(t),H_2(t),H_3(t),Q_{we}(t)) \\ f_3(H_1(t),H_2(t),H_3(t),Q_{we}(t)) \end{array} \right) = \nonumber\\ &=&\left( \begin{array}{c} \dfrac{1}{A}Q_{we}(t) - \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} \\ \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} - \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} \\ \dfrac{\alpha}{2A} \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} - \dfrac{\alpha}{2A} \sqrt{H_3(t)} \end{array} \right) \qquad(1.56) \end{eqnarray} \)

 Równania stanu dla wahadła

\( \begin{eqnarray} \dfrac{d\theta(t)}{dt} &=& \omega(t) \qquad(1.57) \\ \dfrac{d\omega(t)}{dt} &=& \dfrac{g}{l}sin\theta(t) - \dfrac{D}{ml^2} \omega(t) +\dfrac{1}{ml^2} M(t) \qquad(1.58) \end{eqnarray} \)

można zapisać w postaci ogólnej (1.45) poprzez wprowadzenie oznaczeń

\( \begin{eqnarray} x(t) &=& \left( \begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \theta(t)\\ \omega(t) \end{array} \right) \qquad(1.59)\\ x(t_0) &=& \left( \begin{array}{c} x_1(t_0)\\ x_2(t_0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \theta(t_0)\\ \omega(t_0) \end{array} \right) \qquad(1.60)\\ \dfrac{dx(t)}{dt} &=& \left( \begin{array}{c} \dfrac{dx_1(t)}{dt} \\ \dfrac{dx_2(t)}{dt} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{d\theta(t)}{dt} \\ \dfrac{d\omega(t)}{dt} \end{array} \right) \qquad(1.61)\\ u(t) &=& \left(u_1(t)\right) = \left(M(t)\right)\qquad(1.62) \end{eqnarray} \)

oraz

\( \begin{eqnarray} f(x(t),u(t)) &=& \left( \begin{array}{c} f_1(x_1(t),x_2(t),u_1(t)) \\ f_2(x_1(t),x_2(t),u_1(t)) \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array}{c} f_1(\theta(t),\omega(t),M(t)) \\ f_2(\theta(t),\omega(t),M(t)) \end{array} \right) \nonumber \\ &=& \left( \begin{array}{c} \omega(t) \\ \dfrac{g}{l}sin\theta(t) - \dfrac{D}{ml^2} \omega(t) +\dfrac{1}{ml^2} M(t) \end{array} \right) \nonumber \end{eqnarray} \)

W przykładzie z wahadłem musieliśmy przekształcić równanie różniczkowe wyższego rzędu do układu równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Ogólne równanie różniczkowe wyższego rzędu

\( \begin{equation} \dfrac{d^{n} x}{dt^{n}} = f(x,\dfrac{dx}{dt},\dfrac{d^2 x}{dt^2},\cdots,\dfrac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}}) \qquad(1.64) \end{equation} \)

z warunkami początkowymi \( x(t_0), \dfrac{dx(t_0)}{dt}, \cdots, \dfrac{d^{n-1} x(t_0)}{dt^{n-1}} \) można przekształcić do układu równań pierwszego rzędu poprzez wprowadzenie nowych zmiennych

\( \begin{equation} x_1 = x, x_2 = \dfrac{dx}{dt}, \cdots, x_n = \dfrac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} \qquad(1.65) \end{equation} \)

Równanie (1.64) jest równoważne następującemu układowi równań

\( \begin{eqnarray} \dfrac{dx_1}{dt} &=& x_2 \qquad(1.66)\\ \dfrac{dx_2}{dt} &=& x_3\qquad(1.67) \\ &\vdots& \nonumber \\ \dfrac{dx_i}{dt} &=& x_{i+1} \qquad(1.68)\\ &\vdots& \nonumber \\ \dfrac{dx_{n-1}}{dt} &=& x_{n} \qquad(1.69)\\ \dfrac{dx_{n}}{dt} &=& f(x_1,x_2,\cdots,x_i,\cdots,x_n)\qquad(1.70) \end{eqnarray} \)

z warunkami początkowymi

\( \begin{equation} x_1(t_0) = x(t_0), x_2(t_0) = \dfrac{dx(t_0)}{dt}, \cdots, x_n(t_0) = \dfrac{d^{n-1} x(t_0)}{dt^{n-1}} \qquad(1.71) \end{equation} \)