Podręcznik

  Dla równań stanu w postaci ogólnej

$\begin{eqnarray} \frac{dx_1(t)}{dt} &=& f_1(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t),u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,u_m(t)) \qquad(1.121) \\ &\vdots& \nonumber \\ \frac{dx_i(t)}{dt} &=& f_i(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t),u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,u_m(t)) \qquad(1.122) \\ &\vdots& \nonumber \\ \frac{dx_n(t)}{dt} &=& f_n(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t),u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,u_m(t)) \qquad(1.123) \end{eqnarray}$

równania charakterystyki statycznej uzyskujemy poprzez warunek zerowania pochodnych zmiennych stanu. Oznaczmy wartości stanów i sterowań w punkcie równowagi jako $x_{10}$, $x_{20}$, ..., $x_{j0}$, ..., $x_{n0}$ oraz $u_{10}$, $u_{20}$ ,..., $u_{k0}$ ,..., $u_{m0}$. Równania punktu równowagi przyjmują postać

$\begin{eqnarray} 0 &=& f_1(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0},u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) \qquad(1.124) \\ &\vdots& \nonumber \\ 0 &=& f_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0},u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) \qquad(1.125) \\ &\vdots& \nonumber \\ 0 &=& f_n(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0},u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) \qquad(1.126) \end{eqnarray}$

Wprowadźmy wektory zmiennych stanu oraz zmiennych sterujących w punkcie równowagi

$\begin{equation} x_0 = \left( \begin{array}{c} x_{10}\\ \vdots\\ x_{j0} \\ \vdots\\ x_{n0} \end{array} \right),\ u_0 = \left( \begin{array}{c} u_{10}\\ \vdots\\ u_{k0} \\ \vdots\\ u_{m0} \end{array} \right) \end{equation} \qquad(1.127)$

Równania punktu równowagi (1.124)-(\1.126) przyjmują wtedy postać

$\begin{eqnarray} 0 &=& f_1(x_0,u_0) \qquad(1.128) \\ &\vdots& \nonumber \\ 0 &=& f_i(x_0,u_0) \qquad(1.129) \\ &\vdots& \nonumber \\ 0 &=& f_n(x_0,u_0) \qquad(1.130) \end{eqnarray}$

Jeżeli wprowadzimy oznaczenie

$\begin{equation} f(x_0,u_0) = \left( \begin{array}{c} f_1(x_0,u_0)\\ \vdots\\ f_i(x_0,u_0) \\ \vdots\\ f_n(x_0,u_0) \end{array} \right) \end{equation} \qquad(1.131)$

to równania punktu równowagi (1.128)-(1.130) upraszczają się do postaci

$\begin{equation} 0 = f(x_0,u_0) \qquad(1.132) \end{equation}$

gdzie 0 po lewej stronie równania oznacza wektor zerowy o długości $n$. Zbiór wszystkich rozwiązań układu równań (1.132) tworzy charakterystykę statyczną obiektu. 

Równania punktu równowagi dla układu trzech zbiorników

$\begin{eqnarray} 0 &=& \frac{1}{A}Q_{we0} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{10}-H_{20}} \qquad(1.133) \\ 0 &=& \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{10}-H_{20}} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{20}-H_{30}} \qquad(1.134) \\ 0 &=& \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_{20}-H_{30}} - \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_{30}} \qquad(1.135) \end{eqnarray}$

można zapisać w  ogólnej postaci wektorowej (1.132) poprzez wprowadzenie oznaczeń 

$\begin{equation} x_0 = \left( \begin{array}{c} x_{10}\\ x_{20} \\ x_{30} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} H_{10}\\ H_{20}\\ H_{30} \end{array} \right),\ u_0 = \left(u_{10}\right) = \left(Q_{we0}\right) \end{equation} \qquad(1.136)$

oraz 

Równania punktu równowagi dla wahadła

$\begin{eqnarray} 0 &=& \omega_0 \qquad(1.138)\\ 0 &=& \frac{g}{l}sin\theta_0 - \frac{D}{ml^2} \omega_0 +\frac{1}{ml^2} M_0 \qquad(1.140) \end{eqnarray}$

można zapisać w postaci ogólnej (1.132}) poprzez wprowadzenie oznaczeń

$\begin{equation} x_0 = \left( \begin{array}{c} x_{10}\\ x_{20} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \theta_0\\ \omega_0 \end{array} \right),\ u_0 = \left(u_{10}\right) = \left(M_0\right) \end{equation} \qquad(1.140)$

oraz 

$\begin{eqnarray} f(x_0,u_0) &=& \left( \begin{array}{c} f_1(x_{10},x_{20},u_{10}) \\ f_2(x_{10},x_{20},u_{10}) \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array}{c} f_1(\theta_0,\omega_0,M_0) \\ f_2(\theta_0,\omega_0,M_0) \end{array} \right) \nonumber \\ &=& \left( \begin{array}{c} \omega_0 \\ \frac{g}{l}sin\theta_0 - \frac{D}{ml^2} \omega_0 +\frac{1}{ml^2} M_0 \end{array} \right) \nonumber \end{eqnarray}\qquad(1.141)$

Jeżeli chcemy wyznaczyć charakterystykę statyczną wejściowo-wyjściową, należy najpierw rozwiązać układ równań punktu równowagi (1.132), aby znaleźć zależność wektora stanu w punkcie równowagi $x_0$ od wektora sterowań w punkcie równowagi $u_0$. Układ równań może nie mieć rozwiązań, mieć jedno, kilka lub nieskończenie wiele rozwiązań, dlatego rozstrzygnięcie problemu rozwiązywalności układu równań jest niemożliwe w ogólnym przypadku. Dla układu trzech zbiorników równania punktu równowagi miały jednoznaczne rozwiązania, przynajmniej w dziedzinie w której określone są funkcje definiujące równania stanu (patrz funkcja pierwiastka). Dla wahadła równanie 

$\begin{equation} sin\theta_0 = -\frac{1}{mgl}M_0 \end{equation}\qquad(1.142)$

może mieć jedno, dwa lub nie mieć wcale rozwiązań $\theta_0$, w zależności od wartości $M_0$. 

Jeżeli jednak możliwe jest rozwiązanie układu równań (1.132) względem $x_0$ i uzyskanie rozwiązania postaci

$\begin{equation} x_0 = f^u(u_0) \end{equation} \qquad(1.143)$

to aby uzyskać charakterystyka statyczną wejściowo-wyjściową należy do równania wyjść w punkcie równowagi 

$\begin{equation} y_0 = g(x_0) \end{equation}\qquad(1.144)$

wstawić zależność (1.143)

$\begin{equation} y_0 = g(f^u(u_0)) = g^u(u_0) \end{equation}\qquad(1.145)$

gdzie przyjęto następujące oznaczenia

$\begin{equation} y_0 = \left( \begin{array}{c} y_{10}\\ \vdots \\ y_{i0}\\ \vdots \\ y_{p0} \end{array} \right),\ g(x_0) = \left( \begin{array}{c} g_1(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0}) \\ \vdots \\ g_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0})\\ \vdots \\ g_p(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0}) \end{array} \right) \end{equation}\qquad(1.146)$

oraz

$\begin{equation} f^u(u_0) = \left( \begin{array}{c} f_1^u(u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) \\ \vdots \\ f_i^u(u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0})\\ \vdots \\ f_n^u(u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) \end{array} \right),\ g^u(u_0) = \left( \begin{array}{c} g_1^u(u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) \\ \vdots \\ g_i^u(u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0})\\ \vdots \\ g_p^u(u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) \end{array} \right) \end{equation} \qquad(1.147)$

Dla układu trzech zbiorników funkcja $f^u$ ma postać

Wektor wyjść w punkcie równowagi ma postać

$\begin{equation} y_0 = (H_{30}) \end{equation}\qquad(1.149)$

natomiast funkcja $g^u$ ma postać 

Dla wahadła istnieją dwie gałęzie rozwiązań równania punktu równowagi. Funkcja $f^u$ dla pierwszej gałęzi rozwiązań ma postać 

$\begin{equation} x_0 = f^u(u_0) = f^u(M_0) = \left( \begin{array}{c} f_1^u(M_0) \\ f_2^u(M_0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} arcsin \left(-\frac{1}{mgl}M_0\right) \\ 0 \end{array} \right) \end{equation} \qquad(1.151)$

Wektor wyjść w punkcie równowagi ma postać

$\begin{equation} y_0 = (\theta_0) \end{equation}\qquad(1.152)$

natomiast funkcja $g^u$ ma postać

$\begin{equation} g^u(u_0) = g^u(M_0) = \left( g_1^u(M_0) \right) = \left( arcsin \left(- \frac{1}{mgl}M_0 \right) \right) \end{equation} \qquad(1.153)$

Funkcja $f^u$ dla drugiej gałęzi rozwiązań ma postać 

$\begin{equation} x_0 = f^u(u_0) = f^u(M_0) = \left( \begin{array}{c} f_1^u(M_0) \\ f_2^u(M_0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \pi - arcsin \left(-\frac{1}{mgl}M_0\right) \\ 0 \end{array} \right) \end{equation} \qquad(1.154)$

natomiast funkcja $g^u$ ma postać

$\begin{equation} g^u(u_0) = g^u(M_0) = \left( g_1^u(M_0) \right) = \left( \pi - arcsin \left( -\frac{1}{mgl}M_0 \right) \right) \end{equation} \qquad(1.155)$