Podręcznik

Nieliniowe równania stanu mają ogólną postać

$\begin{eqnarray} \frac{dx_1(t)}{dt} &=& f_1(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t),u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,u_m(t)) \qquad(1.156) \\ &\vdots& \nonumber \\ \frac{dx_i(t)}{dt} &=& f_i(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t),u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,u_m(t)) \qquad(1.157) \\ &\vdots& \nonumber \\ \frac{dx_n(t)}{dt} &=& f_n(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t),u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,u_m(t)) \qquad(1.158) \end{eqnarray}$

Szczególnym przypadkiem równań nieliniowych są równania liniowe

$\begin{eqnarray} \frac{dx_1(t)}{dt} &=& a_{11}x_1(t)+\cdots+a_{1j}x_j(t),\cdots+a_{1n}x_n(t) \qquad(1.159)\\ && + b_{11}u_1(t)+\cdots+b_{1k}u_k(t)+\cdots+b_{1m}u_m(t) \nonumber \\ &\vdots& \nonumber\\ \frac{dx_i(t)}{dt} &=& a_{i1}x_1(t)+\cdots+a_{ij}x_j(t),\cdots+a_{in}x_n(t) \qquad(1.160)\\ && + b_{11}u_1(t)+\cdots+b_{ik}u_k(t)+\cdots+b_{im}u_m(t) \nonumber \\ &\vdots& \nonumber \\ \frac{dx_n(t)}{dt} &=& a_{n1}x_1(t)+\cdots+a_{nj}x_j(t),\cdots+a_{nn}x_n(t) \qquad(1.161) \\ && + b_{11}u_1(t)+\cdots+b_{nk}u_k(t)+\cdots+b_{nm}u_m(t) \nonumber \end{eqnarray}$

gdzie $a_{11}$,..., $a_{nn}$, $b_{11}$,...,$b_{nm}$ są stałymi współczynnikami.

Równania (1.159)-(1.161) można zapisać w postaci macierzowej

$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} \frac{dx_1(t)}{dt} \\ \vdots\\ \frac{dx_i(t)}{dt} \\ \vdots\\ \frac{dx_n(t)}{dt} \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1(t)\\ \vdots\\ x_j(t) \\ \vdots\\ x_n(t) \end{array} \right) \\ & & + \left( \begin{array}{ccccc} b_{11} & \cdots & b_{1k} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & \cdots & b_{ik} & \cdots & b_{im} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nk} & \cdots & b_{nm} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} u_1(t)\\ \vdots\\ u_k(t) \\ \vdots\\ u_m(t) \end{array} \right) \nonumber \end{eqnarray}\qquad(1.162)$

Standardowo stosuje się następujące oznaczenia macierzy

$\begin{equation} A = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right),\ B = \left( \begin{array}{ccccc} b_{11} & \cdots & b_{1k} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & \cdots & b_{ik} & \cdots & b_{im} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nk} & \cdots & b_{nm} \end{array} \right) \end{equation} \qquad(1.163)$

Liniowe równania stanu można wtedy zapisać w postaci wektorowej

$\begin{equation} \dfrac{dx(t)}{dt} = Ax(t)+Bu(t) \end{equation}\qquad(1.164)$

Uzupełnieniem liniowych równań stanu są liniowe równania wyjść

$\begin{eqnarray} y_1(t) &=& c_{11}x_1(t)+\cdots+c_{1j}x_j(t),\cdots+c_{1n}x_n(t) \qquad(1.165) \\ &\vdots& \nonumber \\ y_i(t) &=& c_{i1}x_1(t)+\cdots+c_{ij}x_j(t),\cdots+c_{in}x_n(t) \qquad(1.166)\\ &\vdots& \nonumber \\ y_p(t) &=& c_{p1}x_1(t)+\cdots+c_{pj}x_j(t),\cdots+c_{pn}x_n(t) \qquad(1.167) \end{eqnarray}$

gdzie $c_{11}$,..., $c_{pn}$ są stałymi współczynnikami.

Równania wyjść można zapisać w postaci macierzowej

$\begin{equation} \left( \begin{array}{c} y_1(t) \\ \vdots\\ y_i(t) \\ \vdots\\ y_p(t) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccccc} c_{11} & \cdots & c_{1j} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c_{i1} & \cdots & c_{ij} & \cdots & c_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c_{p1} & \cdots & c_{pj} & \cdots & c_{pn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1(t)\\ \vdots\\ x_j(t) \\ \vdots\\ x_n(t) \end{array} \right) \end{equation}\qquad(1.168)$

Standardowo stosuje się następujące oznaczenie macierzy

$\begin{equation} C = \left( \begin{array}{ccccc} c_{11} & \cdots & c_{1j} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c_{i1} & \cdots & c_{ij} & \cdots & c_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c_{p1} & \cdots & c_{pj} & \cdots & c_{pn} \end{array} \right) \end{equation} \qquad(1.169)$

Równanie wyjść można wtedy zapisać w postaci wektorowej

$\begin{equation} y(t) = Cx(t) \end{equation}\qquad(1.170)$

Znalezienie rozwiązania nieliniowego układu równań różniczkowych jest możliwe tylko w szczególnych przypadkach. Także analiza obiektów opisanych nieliniowymi równaniami stanu nastręcza wielu trudności. Przeciwnie, liniowe układy równań różniczkowych są zasadniczo możliwe do rozwiązania z dowolną dokładnością. Również analiza własności obiektów liniowych jest dużo łatwiejsza niż obiektów nieliniowych. 

Istota linearyzacji polega na przybliżeniu modelu nieliniowego poprzez model zlinearyzowany (liniowy), analizie układu zlinearyzowanego i  wnioskowaniu o własnościach układu nieliniowego na podstawie własności układu zlinearyzowanego. Proces linearyzacji opiera się na na rozwinięciu w szereg Taylora nieliniowych funkcji prawych stron równań stanu i pominięciu wyrazów wyższego rzędu. Wynikają stąd pewne ograniczenia. Po pierwsze należy wybrać pewien określony punkt w pobliżu którego dokonujemy linearyzacji. Ponieważ w niniejszym podręczniku skupiamy się na regulacji stałowartościowej to punktem w którym będziemy dokonywać linearyzacji jest punkt równowagi obiektu. Jeżeli zmieniamy punkt linearyzacji to zmienia się także model zlinearyzowany. Po drugie model zlinearyzowany (podobnie jak szereg Taylora) dobrze przybliża model nieliniowy jedynie w pobliżu punktu linearyzacji. Jeżeli trajektorie stanu lub sterowań oddalą się zbytnio od punktu linearyzacji, to model zlinearyzowany przestaje przybliżać model nieliniowy z zadowalającą dokładnością. W tej sekcji szczegółowo omówimy proces linearyzacji na przykładach, a następnie przedstawimy model zlinearyzowany w postaci ogólnej.