Podręcznik

Rozważamy równania w postaci ogólnej

\( \begin{eqnarray} \frac{dx_1}{dt} &=& f_1(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n,u_1,\cdots,u_k,\cdots,u_m) \qquad(1.303) \\ &\vdots& \nonumber \\ \frac{dx_i}{dt} &=& f_i(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n,u_1,\cdots,u_k,\cdots,u_m) \qquad(1.304) \\ &\vdots& \nonumber \\ \frac{dx_n}{dt} &=& f_n(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n,u_1,\cdots,u_k,\cdots,u_m) \qquad(1.305) \end{eqnarray} \)

Linearyzacja \( i \)-tej funkcji prawych stron w pobliżu punktu równowagi \( (x_0,u_0) \) ma postać

\( \begin{eqnarray} && f_i(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n,u_1,\cdots,u_k,\cdots,u_m) \simeq \\ &&\qquad (1.306)f_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0},u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) \nonumber \\ &&\qquad + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_1}(x_1-x_{10}) + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j}(x_j-x_{j0}) + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_n}(x_n-x_{n0}) \nonumber \\ \nonumber \\ &&\qquad + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_1}(u_1-u_{10}) + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k}(u_k-u_{k0}) + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_m}(u_m-u_{m0}) \nonumber \end{eqnarray} \)

gdzie dla skrócenia zapisu wprowadzamy oznaczenia

\( \begin{eqnarray} \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j} &=& \frac{\partial f_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0},u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0})}{\partial x_j} \qquad(1.307)\\ \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k} &=& \frac{\partial f_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0},u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0})}{\partial u_k}\qquad(1.308) \end{eqnarray} \)

Przybliżenie dla \( i \)-tego równania stanu można zapisać jako

\( \begin{eqnarray} \frac{dx_i}{dt} &\simeq& f_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0},u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) \\ && + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_1}(x_1-x_{10}) + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j}(x_j-x_{j0}) + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_n}(x_n-x_{n0}) \nonumber \\ \qquad(1.309) \\ && + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_1}(u_1-u_{10}) + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k}(u_k-u_{k0}) + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_m}(u_m-u_{m0}) \nonumber \end{eqnarray} \)

Z warunku na punkt równowagi mamy

\( \begin{equation} f_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0},u_{10},\cdots,u_{k0},\cdots,u_{m0}) = 0 \end{equation}\qquad(1.310) \)

i przybliżenie \( i \)-tego równania stanu może zostać zapisane jako

\( \begin{eqnarray} \frac{dx_i}{dt} &\simeq& \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_1}(x_1-x_{10}) + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j}(x_j-x_{j0}) + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_n}(x_n-x_{n0}) \nonumber \\ && + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_1}(u_1-u_{10}) + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k}(u_k-u_{k0}) + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_m}(u_m-u_{m0}) \qquad(1.311)\\ \end{eqnarray} \)

Wprowadzamy zmienne przyrostowe dla zmiennych stanu 

\( \begin{equation} \Delta x_j = x_j - x_{j0},\ j = 1,\cdots,n \end{equation}\qquad(1.312) \)

oraz zmiennych sterujących

\( \begin{equation} \Delta u_k = u_k - u_{k0},\ k = 1,\cdots,m \end{equation}\qquad(1.313) \)

Przybliżenie \( i \)-tego równania stanu możemy zapisać jako

\( \begin{eqnarray} \frac{dx_i}{dt} &\simeq& \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_1}\Delta x_1 + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j} \Delta x_j + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_n}\Delta x_n \\ && + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_1}\Delta u_1 + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k}\Delta u_k + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_m}\Delta u_m \nonumber \end{eqnarray}\qquad(1.314) \)

Ponieważ pochodna funkcji stałej jest równa zero to mamy \( \frac{d x_{i0}}{dt} =0 \). Pochodna zmiennej przyrostowej \(\Delta x_i\) jest zatem  równa pochodnej zmiennej \(x_i\)

\( \begin{equation} \frac{d\Delta x_i}{dt} = \frac{d (x_i-x_{i0})}{dt} = \frac{d x_i}{dt} - \frac{d x_{i0}}{dt} = \frac{d x_i}{dt} \end{equation}\qquad(1.315) \)

Przybliżenie \( i \)-tego równania stanu możemy teraz zapisać jako

\( \begin{eqnarray} \frac{d\Delta x_i}{dt} &\simeq& \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_1}\Delta x_1 + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j} \Delta x_j + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_n}\Delta x_n \\ && + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_1}\Delta u_1 + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k}\Delta u_k + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_m}\Delta u_m \nonumber \end{eqnarray}\qquad(1.316) \)

Powyższa zależność jest spełniona w przybliżeniu. Aby utworzyć równania zlinearyzowane wprowadzamy nowe wielkości

\( \begin{eqnarray} \tilde{x}_j,\ j =1,\cdots, n\ \tilde{u}_k,\ k =1,\cdots, m \end{eqnarray}\qquad(1.317) \)

oraz definiujemy \( i \)-te równanie  zlinearyzowane w następujący sposób

\( \begin{eqnarray} \frac{d\tilde{x}_i}{dt} &=& \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_1}\tilde{x}_1 + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j} \tilde{x}_j + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_n}\tilde{x}_n \\ && + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_1}\tilde{u}_1 + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k}\tilde{u}_k + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_m}\tilde{u}_m \qquad(1.318) \end{eqnarray} \)

Pełny układ równań zlinearyzowanych ma postać

\( \begin{eqnarray} \frac{d\tilde{x}_1}{dt} &=& \frac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial x_1}\tilde{x}_1 + \cdots \frac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial x_j} \tilde{x}_j + \cdots + \frac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial x_n}\tilde{x}_n \qquad(1.319) \\ && + \frac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial u_1}\tilde{u}_1 + \cdots \frac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial u_k}\tilde{u}_k + \cdots + \frac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial u_m}\tilde{u}_m \\ &\vdots& \nonumber\\ \frac{d\tilde{x}_i}{dt} &=& \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_1}\tilde{x}_1 + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j} \tilde{x}_j + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_n}\tilde{x}_n \qquad(1.320)\\ && + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_1}\tilde{u}_1 + \cdots \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k}\tilde{u}_k + \cdots + \frac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_m}\tilde{u}_m \nonumber \\ &\vdots& \nonumber \\ \frac{d\tilde{x}_n}{dt} &=& \frac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial x_1}\tilde{x}_1 + \cdots \frac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial x_j} \tilde{x}_j + \cdots + \frac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial x_n}\tilde{x}_n \qquad(1.321)\\ && + \frac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial u_1}\tilde{u}_1 + \cdots \frac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial u_k}\tilde{u}_k + \cdots + \frac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial u_m}\tilde{u}_m \nonumber \end{eqnarray} \)

Są to równania w ścisłym sensie, gdyż zamiast znaku przybliżenia \( \simeq \) pojawia się znak równości.

Postulujemy, że jeżeli zachodzą następujące warunki

• w pewnym ustalonym przedziale czasu \( t\in [ t_0, t_1 ] \) funkcje sterowań \(\tilde{u}_1(t),\cdots,\) (\tilde{u}_k(t),\cdots,\) \(\tilde{u}_m(t) \) są dokładnie równe przyrostom zmiennych \(u_1(t),\cdots,u_k(t),\cdots,\)  \(u_m(t) \)

\( \begin{equation} \tilde{u}_k(t) = \Delta u_k(t) = u_k(t)-u_{k0},\ k=1,\cdots,m \end{equation}\qquad(1.322) \)

• warunki początkowe dla zmiennych \(\tilde{x}_j(t),\cdots,\tilde{x}_j(t),\cdots,\tilde{x}_n(t) \) są dokładnie równe przyrostom zmiennych \(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t) \) w chwili początkowej

\( \begin{equation} \tilde{x}_j(t_0) = \Delta x_j(t_0),\ j=1,\cdots,n \end{equation} \qquad(1.323) \)

• w pewnym ustalonym przedziale czasu \( t\in [ t_0, t_1 ] \) rozwiązania nieliniowych równań stanu  \(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t) \) pozostają w otoczeniu punktu równowagi \( (x_0, u_0) \)

\( \begin{equation} | x_j(t)-x_{j0} | = | \Delta x_j(t) | \leq C_{j} \qquad(1.324) \end{equation} \)

               gdzie  \( C_{j},\ j =1,\cdots,n \) są stałymi dodatnimi

to rozwiązania \(\tilde{x}_j(t),\cdots,\tilde{x}_j(t),\cdots,\tilde{x}_n(t) \) zlinearyzowanych równań stanu (1.319)-(1.321) dobrze przybliżają przyrosty zmiennych stanu dla \( t\in [ t_0, t_1 ] \) tzn. w tym przedziale czasu zachodzą przybliżone warunki

\( \begin{eqnarray} \tilde{x}_j(t) \simeq \Delta x_j(t),\ j=1,\cdots,n \end{eqnarray}/qquad(1.325) \)

Przybliżenie to jest tym lepsze im bliżej wybranego punktu równowagi pozostają rozwiązania nieliniowych równań stanu tzn. im mniejsze są stałe \(  C_{j},\ j =1,\cdots,n \) w (1.324). 

Podobnie rozważmy układ równań wyjść w ogólnej postaci

\( \begin{eqnarray} y_1 &=& g_1(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n) \qquad(1.326) \\ &\vdots& \nonumber \\ y_i &=& g_i(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n) \qquad(1.327) \\ &\vdots& \nonumber \\ y_p &=& g_p(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n) \qquad(1.328) \end{eqnarray} \)

Linearyzacja \( i \)-tej funkcji prawych stron w pobliżu punktu równowagi \( (x_0,u_0) \) ma postać

\( \begin{eqnarray} && g_i(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n) \simeq g_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0}) \nonumber \\ &&\qquad + \frac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_1}(x_1-x_{10}) + \cdots \frac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_j}(x_j-x_{j0}) + \cdots + \frac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_n}(x_n-x_{n0}) \nonumber \end{eqnarray} \)

gdzie dla skrócenia zapisu wprowadzamy oznaczenie

\( \begin{equation} \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_j} = \dfrac{\partial g_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0})}{\partial x_j} \end{equation}\qquad(1.329) \)

Przybliżenie dla \( i \)-tego równania wyjść można zapisać jako

\( \begin{equation} y_i \simeq y_{i0} + \frac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_1}(x_1-x_{10}) + \cdots \frac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_j}(x_j-x_{j0}) + \cdots + \frac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_n}(x_n-x_{n0}) \end{equation}\qquad(1.330) \)

gdzie

\( \begin{equation} y_{i0} = g_i(x_{10},\cdots,x_{j0},\cdots,x_{n0}) \end{equation}\qquad(1.331) \)

Jeżeli przeniesiemy \( y_{i0} \) na drugą stronę przybliżenia to otrzymamy

\( \begin{equation} y_i - y_{i0} \simeq \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_1}(x_1-x_{10}) + \cdots \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_j}(x_j-x_{j0}) + \cdots + \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_n}(x_n-x_{n0}) \end{equation}\qquad(1.332) \)

Wprowadźmy zmienne przyrostowe

\( \begin{equation} \Delta y_i = y_i - y_{i0},\ i = 1,\cdots,p \end{equation}\qquad(1.333) \)

Przybliżenie dla \( i \)-tego równania wyjść można teraz zapisać jako

\( \begin{equation} \Delta y_i \simeq + \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_1}\Delta x_1 + \cdots \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_j}\Delta x_j + \cdots + \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_n}\Delta x_n \end{equation}\qquad(1.334) \)

Aby zdefiniować zlinearyzowane równanie wyjść wprowadzamy zmienne \( \tilde{y}_i,\ i = 1,\cdots,p \). \( i \)-te zlinearyzowane równanie wyjść ma postać

\( \begin{equation} \tilde{y}_i = \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_1}\tilde{x}_1 + \cdots \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_j}\tilde{x}_i + \cdots + \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_n}\tilde{x}_n \end{equation}\qquad(1.335) \)

Układ zlinearyzowanych równań wyjść ma postać

\( \begin{eqnarray} \tilde{y}_1 &=& \dfrac{\partial g_1(x_0)}{\partial x_1}\tilde{x}_1 + \cdots \dfrac{\partial g_1(x_0)}{\partial x_j}\tilde{x}_i + \cdots + \dfrac{\partial g_1(x_0)}{\partial x_n}\tilde{x}_n \qquad(1.336)\\ &\vdots& \\ \tilde{y}_i &=& \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_1}\tilde{x}_1 + \cdots \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_j}\tilde{x}_i + \cdots + \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_n}\tilde{x}_n \qquad(1.337\\ &\vdots& ) \\ \tilde{y}_n &=& \dfrac{\partial g_n(x_0)}{\partial x_1}\tilde{x}_1 + \cdots \dfrac{\partial g_n(x_0)}{\partial x_j}\tilde{x}_i + \cdots + \dfrac{\partial g_n(x_0)}{\partial x_n}\tilde{x}_n \qquad(1.338) \end{eqnarray} \)

Postulując takie same warunki jak w przypadku równań stanu oczekujemy, że rozwiązania równań wyjść \( \tilde{y}_1,\cdots,\tilde{y}_i,\cdots,\tilde{y}_p  \) będą dobrze przybliżać przyrosty zmiennych wyjściowych \( y_1,\cdots,y_i,\cdots,y_p \)

\( \begin{equation} \tilde{y}_i \simeq \Delta y_i = y_i-y_{i0},\ i = 1,\cdots,p \end{equation}\qquad(1.339) \)

Zlinearyzowane równania stanu i wyjść mogą zostać przedstawione w postaci wektorowej

\( \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} \dfrac{d\tilde{x}_1}{dt} \\ \vdots \\ \dfrac{d\tilde{x}_i}{dt} \\ \vdots \\ \dfrac{d\tilde{x}_n}{dt} \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial x_n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \tilde{x}_1 \\ \vdots \\ \tilde{x}_j \\ \vdots \\ \tilde{x}_n \end{array} \right) \\ &&+ \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial u_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial u_k} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial u_m} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k} & \cdots & \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_m} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m(x_0,u_0)}{\partial u_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m(x_0,u_0)}{\partial u_k} & \cdots & \dfrac{\partial f_m(x_0,u_0)}{\partial u_m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \tilde{u}_1\\ \vdots \\ \tilde{u}_k \\ \vdots \\ \tilde{u}_m \end{array} \right) \nonumber \end{eqnarray} \qquad(1.340) \)

\( \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} \tilde{y}_1 \\ \vdots \\ \tilde{y}_i \\ \vdots \\ \tilde{y}_p \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_1(x_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial g_1(x_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial g_1(x_0)}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial g_n(x_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial g_n(x_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial g_n(x_0)}{\partial x_n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \tilde{x}_1 \\ \vdots \\ \tilde{x}_j \\ \vdots \\ \tilde{x}_n \end{array} \right) \end{eqnarray} \)

Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia wektorów

\( \begin{equation} \tilde{x} = \left( \begin{array}{c} \tilde{x}_1\\ \vdots\\ \tilde{x}_j \\ \vdots\\ \tilde{x}_n \end{array} \right),\ \dfrac{d\tilde{x}}{dt} = \left( \begin{array}{c} \dfrac{d\tilde{x}_1}{dt} \\ \vdots \\ \dfrac{d\tilde{x}_i}{dt} \\ \vdots \\ \dfrac{d\tilde{x}_n}{dt} \end{array} \right),\ \tilde{u} = \left( \begin{array}{c} \tilde{u}_1\\ \vdots\\ \tilde{u}_k \\ \vdots\\ \tilde{u}_m \end{array} \right),\ \tilde{y} = \left( \begin{array}{c} \tilde{y}_1\\ \vdots\\ \tilde{y}_i \\ \vdots\\ \tilde{y}_p \end{array} \right) \end{equation} \qquad(1.342) \)

oraz macierzy

\( \begin{eqnarray} \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial x} &=& \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial f_n(x_0,u_0)}{\partial x_n} \end{array} \right)\qquad(1.343)\\ \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial u} &=& \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial u_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial u_k} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(x_0,u_0)}{\partial u_m} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_k} & \cdots & \dfrac{\partial f_i(x_0,u_0)}{\partial u_m} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m(x_0,u_0)}{\partial u_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m(x_0,u_0)}{\partial u_k} & \cdots & \dfrac{\partial f_m(x_0,u_0)}{\partial u_m} \end{array} \right) \qquad(1.344)\\ \dfrac{\partial g(x_0)}{\partial x} &=& \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_1(x_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial g_1(x_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial g_1(x_0)}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial g_i(x_0)}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial g_n(x_0)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial g_n(x_0)}{\partial x_j} & \cdots & \dfrac{\partial g_n(x_0)}{\partial x_n} \end{array} \right)\qquad(1.345) \end{eqnarray} \)

To zlinearyzowane równania stanu i wyjść mogą zostać zapisane w postaci zwartej

\( \begin{eqnarray} \dfrac{d\tilde{x}}{dt} &=& \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial x}\tilde{x} + \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial u}\tilde{u} \qquad(1.346)\\ \tilde{y} &=& \dfrac{\partial g(x_0,u_0)}{\partial x}\tilde{x} \qquad(1.347) \end{eqnarray} \)

Przepiszmy jeszcze raz powyższe równania, ale tym razem z argumentem czasu

\( \begin{eqnarray} \dfrac{d\tilde{x}(t)}{dt} &=& \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial x}\tilde{x}(t) + \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial u}\tilde{u}(t) \qquad(1.348)\\ \tilde{y}(t) &=& \dfrac{\partial g(x_0,u_0)}{\partial x}\tilde{x}(t) \qquad(1.349) \end{eqnarray} \)

Należy pamiętać, że w równaniach  \( \tilde{x}(t)\), \( \tilde{u}(t) \) oraz \( \tilde{y}(t) \) są funkcjami czasu, natomiast macierze pochodnych cząstkowych \( \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial x} \), \( \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial u} \) oraz \( \dfrac{\partial g(x_0,u_0)}{\partial x} \) są stałe, ponieważ pochodne cząstkowe są obliczane w jednym wybranym punkcie równowagi \( (x_0,u_0) \).

Równanie równowagi dla zlinearyzowanych równań stanu ma postać

\( \begin{equation} 0 = \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial x}\tilde{x}_0 + \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial u}\tilde{u}_0 \end{equation}\qquad(1.350) \)

Powyższy układ równań ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie

\( \begin{equation} \tilde{x}_0 = 0,\ \tilde{u}_0 = 0 \end{equation}\qquad(1.351) \)

Punkt równowagi układu zlinearyzowanego \( (\tilde{x}_0,\tilde{u}_0) = (0,0) \) odpowiada punktowi równowagi \( (x_0,u_0) \) układu nieliniowego. Jeżeli bowiem zachodzi

\( \begin{equation} x(t) = x_0,\ u(t) = u_0 \end{equation} \qquad(1.352) \)

to warunki początkowe dla układu zlinearyzowanego wynoszą

\( \begin{equation} \tilde{x}(t_0) = \Delta x(t_0) = x(t_0) - x_0 = x_0 - x_0 = 0 \end{equation}\qquad(1.353) \)

a sterowania w układzie zlinearyzowanym wynoszą

\( \begin{equation} \tilde{u}(t) = \Delta u(t) = u(t) - u_0 = u_0 - u_0 = 0 \end{equation}\qquad(1.354) \)

W takim przypadku rozwiązanie układu zlinearyzowanego wynosi

\( \begin{equation} \tilde{x}(t) = 0,\ \tilde{u}(t) = 0 \end{equation}\qquad(1.355) \)

tzn. układ zlinearyzowany pozostaje w punkcie równowagi \( (\tilde{x}_0,\tilde{u}_0) = (0,0) \).