Podręcznik
3. Linearyzacja równań modelu obiektu
3.5. Linearyzacja równań modelu obiektu - przypadek ogólny
Rozważamy równania w postaci ogólnej
Linearyzacja -tej funkcji prawych stron w pobliżu
punktu równowagi
ma postać
gdzie dla skrócenia zapisu wprowadzamy oznaczenia
Przybliżenie dla -tego równania stanu można zapisać
jako
Z warunku na punkt równowagi mamy
i przybliżenie -tego równania stanu może zostać
zapisane jako
Wprowadzamy zmienne przyrostowe dla zmiennych stanu
oraz zmiennych sterujących
Przybliżenie -tego równania stanu możemy zapisać jako
Ponieważ pochodna funkcji stałej jest równa zero to mamy . Pochodna zmiennej przyrostowej
jest
zatem równa pochodnej zmiennej
Przybliżenie -tego równania stanu możemy teraz
zapisać jako
Powyższa zależność jest spełniona w przybliżeniu. Aby utworzyć równania zlinearyzowane wprowadzamy nowe wielkości
oraz definiujemy -te równanie zlinearyzowane w następujący sposób
Pełny układ równań zlinearyzowanych ma postać
Są to równania w ścisłym sensie, gdyż zamiast znaku
przybliżenia pojawia się znak równości.
Postulujemy, że jeżeli zachodzą następujące
warunki
- w
pewnym ustalonym przedziale czasu
funkcje sterowań
(\tilde{u}_k(t),\cdots,\)
są dokładnie równe przyrostom zmiennych
- w
pewnym ustalonym przedziale czasu
rozwiązania nieliniowych równań stanu
pozostają w otoczeniu punktu równowagi
to rozwiązania zlinearyzowanych równań stanu
(1.319)-(1.321) dobrze
przybliżają przyrosty zmiennych stanu dla
tzn. w tym
przedziale czasu zachodzą przybliżone warunki
Przybliżenie to jest tym lepsze im bliżej wybranego punktu
równowagi pozostają rozwiązania nieliniowych równań stanu tzn. im mniejsze są stałe
w
(1.324).
Podobnie rozważmy układ równań wyjść w ogólnej postaci
Linearyzacja -tej funkcji prawych stron w pobliżu
punktu równowagi
ma postać
gdzie dla skrócenia zapisu wprowadzamy oznaczenie
Przybliżenie dla -tego równania wyjść można zapisać
jako
gdzie
Jeżeli przeniesiemy na drugą stronę
przybliżenia to otrzymamy
Wprowadźmy zmienne przyrostowe
Przybliżenie dla -tego równania wyjść można teraz
zapisać jako
Aby zdefiniować zlinearyzowane równanie wyjść wprowadzamy
zmienne .
-te zlinearyzowane równanie
wyjść ma postać
Układ zlinearyzowanych równań wyjść ma postać
Postulując takie same warunki jak w przypadku równań stanu oczekujemy, że rozwiązania równań wyjść będą dobrze przybliżać przyrosty zmiennych wyjściowych
Zlinearyzowane równania stanu i wyjść mogą zostać przedstawione w postaci wektorowej
Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia wektorów
oraz macierzy
To zlinearyzowane równania stanu i wyjść mogą zostać zapisane w postaci zwartej
Przepiszmy jeszcze raz powyższe równania, ale tym razem z argumentem czasu
Należy pamiętać, że w równaniach ,
oraz
są funkcjami czasu, natomiast macierze pochodnych cząstkowych
,
oraz
są stałe, ponieważ pochodne cząstkowe są obliczane w jednym wybranym punkcie równowagi
.
Równanie równowagi dla zlinearyzowanych równań stanu ma postać
Powyższy układ równań ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie
Punkt równowagi układu zlinearyzowanego odpowiada punktowi równowagi
układu nieliniowego. Jeżeli bowiem zachodzi
to warunki początkowe dla układu zlinearyzowanego wynoszą
a sterowania w układzie zlinearyzowanym wynoszą
W takim przypadku rozwiązanie układu zlinearyzowanego wynosi
tzn. układ zlinearyzowany pozostaje w punkcie równowagi .