Podręcznik

Rozważamy równania stanu dla liniowego obiektu autonomicznego (bez sterowań)

$\begin{eqnarray} \dfrac{d\tilde{x}(t)}{dt} = A\tilde{x}(t) \qquad(3.12) \end{eqnarray}$

Obiekt ten może w szczególności być wynikiem linearyzacji równań obiektu nieliniowego. Mamy wtedy

$\begin{equation} A= \dfrac{\partial f(x_0)}{\partial x} \end{equation}\qquad(3.13)$

Interesuje nas punkt równowagi obiektu liniowego $\tilde{x}_0 = 0$. Chcemy stwierdzić, jak będzie się zachowywał obiekt liniowy, po wytrąceniu go z punktu równowagi. Oznaczmy warunek początkowy jako $\tilde{x}(t_0)$.

Okazuje się, że rozwiązanie $\tilde{x}(t)$ równań stanu (3.12) z warunkiem początkowym $\tilde{x}(t_0)$ jest sumą składników postaci

•  $C_1\cdot e^{\alpha \cdot t}$
• $C_1\cdot t^{l}\cdot e^{\alpha\cdot t}$
• $C_1\cdot e^{\alpha \cdot t}\left(C_2\cdot cos(\beta\cdot t) + C_3\cdot sin(\beta\cdot t) \right)$
•  $C_1\cdot t^{l}\cdot e^{\alpha \cdot t}\left(C_2\cdot cos(\beta\cdot t) + C_3\cdot sin(\beta\cdot t) \right)$

gdzie $C_1,C_2,C_3,\alpha,\beta,l$ są pewnymi stałymi. W każdym z tych składników dominującą rolę odgrywa wyrażenie $e^{\alpha\cdot t}$. Jeżeli bowiem $\alpha$ to dla $t\rightarrow \infty$ dany składnik będzie dążył do zera, jeżeli zaś $\alpha>0$ to dla $t\rightarrow \infty$ dany składnik będzie rósł (lub malał) w sposób nieograniczony. Aby układ liniowy był stabilny asymptotycznie potrzeba zatem, aby w każdym ze składników rozwiązania równań stanu $\tilde{x}(t)$ wykładnik funkcji eksponencjalnej był ujemny. Odwrotnie, jeżeli w przynajmniej w jednym ze składników rozwiązania równań stanu $\tilde{x}(t)$ wykładnik funkcji eksponencjalnej jest dodatni, to rozwiązanie będzie rosło w sposób nieograniczony (tzn. układ będzie niestabilny).

O stabilności obiektu liniowego decydują zatem wykładniki funkcji eksponencjalnej w rozwiązaniu równań stanu. Okazuje się, że wartości tych wykładników  zależą  jedynie od macierzy $A$, a  nie zależą od warunków początkowych $x(t_0)$. Aby znaleźć wartości tych wykładników należy znaleźć pierwiastki $s_1,\cdots,s_j,\cdots,s_n$ następującego wielomianu nazywanego  wielomianem charakterystycznym}obiektu liniowego

$\begin{equation} W(s) = det(sI-A) = s^n+ a_{n-1}s^{n-1}+ \cdots + a_{j}s^{j} + \cdots + a_1s+a_0 \end{equation} \qquad(3.14)$

gdzie $a_n = 1, a_{n-1},\cdots, a_{j},\cdots, a_1, a_0$ to współczynniki wielomianu (współczynnik przy $s^n$ jest zawsze równy $1$), natomiast $i$ jest macierzą jednostkową rozmiaru $n\times n$. Nie należy mylić współczynników wielomianu charakterystycznego z współczynnikami macierzy $A = (a_{ij})$.  To, że wyrażenie $det(I-sA)$ jest wielomianem zmiennej $s$, może nie być oczywiste na pierwszy rzut oka. Tak jednak jest, co będziemy mogli zobaczyć rozwiązując odpowiednie przykłady. Stopień wielomianu charakterystycznego (a zatem także liczba jego pierwiastków) jest równy liczbie zmiennych stanu $n$. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego są liczbami zespolonymi postaci

$\begin{equation} s_j = \alpha_j + i\beta_j \end{equation}\qquad(3.15)$

gdzie $i$ to jednostka urojona. Jeżeli pierwiastek $s_j$ jest liczbą rzeczywistą ($\beta_j = 0$), to w rozwiązaniu równań liniowych pojawia się składnik $C_1\cdot e^{\alpha_j \cdot t}$. Jeżeli pierwiastek $s_j$ jest liczbą zespoloną i $\beta_j \neq 0$,  to w rozwiązaniu równań liniowych pojawia się składnik $C_1\cdot e^{\alpha_j \cdot t}\left(C_2\cdot cos(\beta_j\cdot t) + C_3\cdot sin(\beta_j\cdot t) \right)$. Jeżeli występują pierwiastki wielokrotne, to dodatkowo w tych wyrazach pojawia się czynnik $t^{l}$, gdzie $l+1$ to krotność danego pierwiastka. W każdym przypadku wykładniki funkcji eksponencjalnych ze składników rozwiązania równań stanu $\tilde{x}(t)$ są równe częściom rzeczywistym pierwiastków wielomianu charakterystycznego $Re(s_1),\cdots,Re(s_j),\cdots,Re(s_n)$.

Reasumując, jeżeli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego $s_1,\cdots,s_j,\cdots,s_n$  spełniają warunek

$Re(s_1) < 0,\cdots,Re(s_j) < 0,\cdots,Re(s_n) < 0 \qquad(3.16)$

   to układ liniowy jest stabilny asymptotycznie. Jeżeli jednak dla pewnego pierwiastka wielomianu charakterystycznego $s_j$ zachodzi warunek

$\begin{equation} Re(s_j)>0 \qquad(3.17) \end{equation}$

to układ liniowy jest niestabilny. Przypadek $Re(s_i)=0$ nie jest jednoznaczny i wymaga dodatkowej analizy. Nie jest to jednak problem, gdyż w naszych rozważaniach skupiamy się na stabilności asymptotycznej. 

Teraz, kiedy znamy już warunek na stabilność asymptotyczną (oraz niestabilność) dla punktu równowagi $\tilde{x}_0 = 0$ obiektu liniowego, pojawia się kolejny problem. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu jest możliwe tylko dla wielomianów stopnia niższego niż 5. Dla wielomianów stopnia 5 i wyższych nie istnieją ogólne wzory pozwalające obliczać wartości pierwiastków wielomianu. 

Aby poradzić sobie z tym problemem zauważmy, że tak naprawdę nie potrzebujemy znać dokładnych wartości wszystkich pierwiastków wielomianu. Aby stwierdzić stabilność asymptotyczną, musimy wiedzieć czy zachodzi warunek (3.16). Okazuje się, że istnieje kryterium pozwalające stwierdzić, czy warunek (3.16) jest spełniony, bez konieczności obliczania dokładnych wartości pierwiastków wielomianu. To kryterium nosi nazwę  kryterium Hurwitza. Istotną rolę w kryterium Hurwitza odgrywa  macierz Hurwitza. Jest ona tworzona z pomocą współczynników wielomianu charakterystycznego i ma następującą postać

$\begin{equation} H = \left( \begin{array}{ccccccccc} a_{n-1} & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} & a_{n-2} & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{n-7} & a_{n-6} & a_{n-5} & a_{n-4} & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & a_0 \\ \end{array} \right) \end{equation}\qquad(3.18)$

Sposób tworzenia macierzy Hurwitza jest następujący. Macierz Hurwitza to macierz kwadratowa rozmiaru $n\times n$. Na przekątnej macierzy Hurwitza umieszczamy kolejno współczynniki $a_{n-1},\cdots, a_{j},\cdots, a_1, a_0$. Następnie uzupełniamy wartości w kolejnych wierszach wg następującej reguły. Jeżeli na przekątnej mamy współczynnik $a_j$, to na prawo od niego wypisujemy kolejno współczynniki wielomianu przy coraz wyższych potęgach $s$:  $a_{j+1}, a_{j+2}, a_{j+3},\cdots$. Na lewo od przekątnej wypisujemy współczynniki  wielomianu przy coraz niższych potęgach $s$: $\cdots, a_{j-3}, a_{j-2}, a_{j-1}$. Jeżeli nie mamy już współczynników do wpisania na lewo lub prawo od przekątnej, to wiersz uzupełniamy zerami. 

Aby sformułować kryterium Hurwitza, musimy jeszcze wprowadzić pojęcie  minora głównego  macierzy Hurwitza. $j$-tym minorem głównym macierzy nazwiemy wyznacznik macierzy powstałej z pierwszych $j$ wierszy i pierwszych $j$ kolumn macierzy wyjściowej. Kolejne minory główne macierzy Hurwitza mają postać

$\begin{equation} \left| a_{n-1} \right|,\ \left| \begin{array}{cc} a_{n-1} & 1 \\ a_{n-3} & a_{n-2} \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{ccc} a_{n-1} & 1 & 0 \\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cccc} a_{n-1} & 1 & 0 & 0 \\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & 1 \\ a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-7} & a_{n-6} & a_{n-5} & a_{n-4} \end{array} \right| \end{equation}\qquad(3.19)$

Ostatnie minory główne macierzy Hurwitza mają postać

$\begin{equation} \left| \begin{array}{ccccccc} a_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_3 & a_4 & a_5 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_0 & a_1 \\ \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cccccccc} a_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & a_0 \\ \end{array} \right| \end{equation}\qquad(3.20)$

Jesteśmy przygotowani na sformułowanie kryterium Hurwitza.

Przypadki w których w kryterium Hurwitza zamiast nierówności ostrych pojawia się równość, są potencjalnie związane ze stabilnością nieasymptotyczną. Dla nas jednak najistotniejsze jest określenie warunków na stabilność asymptotyczną obiektu (względnie jego niestabilność).