Podręcznik
2. Stabilność obiektów liniowych
Rozważamy równania stanu dla liniowego obiektu autonomicznego (bez sterowań)
Obiekt ten może w szczególności być wynikiem linearyzacji równań obiektu nieliniowego. Mamy wtedy
Interesuje nas punkt równowagi obiektu
liniowego . Chcemy stwierdzić, jak będzie się zachowywał
obiekt liniowy, po wytrąceniu go z punktu równowagi. Oznaczmy warunek
początkowy jako
.
Okazuje się, że rozwiązanie równań stanu (3.12) z warunkiem początkowym
jest sumą składników postaci
gdzie
są pewnymi stałymi. W każdym z tych składników dominującą rolę odgrywa
wyrażenie
. Jeżeli bowiem
to dla
dany składnik będzie dążył do zera, jeżeli zaś
to dla
dany składnik będzie rósł (lub
malał) w sposób nieograniczony. Aby układ liniowy był stabilny asymptotycznie
potrzeba zatem, aby w każdym ze składników rozwiązania równań stanu
wykładnik funkcji eksponencjalnej był ujemny. Odwrotnie, jeżeli
w przynajmniej w jednym ze składników rozwiązania równań stanu
wykładnik funkcji eksponencjalnej jest dodatni, to rozwiązanie będzie rosło
w sposób nieograniczony (tzn. układ będzie niestabilny).
O stabilności obiektu liniowego decydują
zatem wykładniki funkcji eksponencjalnej w rozwiązaniu równań stanu. Okazuje
się, że wartości tych wykładników zależą jedynie od
macierzy , a nie zależą od warunków początkowych
. Aby znaleźć wartości tych wykładników należy znaleźć pierwiastki
następującego wielomianu nazywanego wielomianem
charakterystycznym}obiektu liniowego
gdzie to współczynniki wielomianu (współczynnik przy
jest zawsze równy
), natomiast
jest macierzą jednostkową
rozmiaru
. Nie należy mylić współczynników wielomianu
charakterystycznego z współczynnikami macierzy
. To, że
wyrażenie
jest wielomianem zmiennej
, może nie być
oczywiste na pierwszy rzut oka. Tak jednak jest, co będziemy mogli zobaczyć
rozwiązując odpowiednie przykłady. Stopień wielomianu charakterystycznego (a
zatem także liczba jego pierwiastków) jest równy liczbie zmiennych stanu
. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego są liczbami zespolonymi postaci
gdzie to jednostka urojona.
Jeżeli pierwiastek
jest liczbą rzeczywistą (
), to w
rozwiązaniu równań liniowych pojawia się składnik
. Jeżeli pierwiastek
jest liczbą zespoloną i
, to w rozwiązaniu równań liniowych pojawia się składnik
. Jeżeli występują pierwiastki wielokrotne, to
dodatkowo w tych wyrazach pojawia się czynnik
, gdzie
to
krotność danego pierwiastka. W każdym przypadku wykładniki funkcji
eksponencjalnych ze składników rozwiązania równań stanu
są
równe częściom rzeczywistym pierwiastków wielomianu charakterystycznego
.
Reasumując, jeżeli wszystkie pierwiastki
wielomianu charakterystycznego spełniają
warunek
to układ liniowy jest stabilny
asymptotycznie. Jeżeli jednak dla pewnego pierwiastka wielomianu
charakterystycznego zachodzi warunek
to układ liniowy jest niestabilny.
Przypadek nie jest jednoznaczny i wymaga dodatkowej analizy.
Nie jest to jednak problem, gdyż w naszych rozważaniach skupiamy się na stabilności
asymptotycznej.
Teraz, kiedy znamy już warunek na
stabilność asymptotyczną (oraz niestabilność) dla punktu równowagi obiektu liniowego, pojawia się kolejny problem. Wyznaczanie
pierwiastków wielomianu jest możliwe tylko dla wielomianów stopnia niższego niż
5. Dla wielomianów stopnia 5 i wyższych nie istnieją ogólne wzory pozwalające
obliczać wartości pierwiastków wielomianu.
Aby poradzić sobie z tym problemem
zauważmy, że tak naprawdę nie potrzebujemy znać dokładnych wartości wszystkich
pierwiastków wielomianu. Aby stwierdzić stabilność asymptotyczną, musimy
wiedzieć czy zachodzi warunek (3.16). Okazuje się, że
istnieje kryterium pozwalające stwierdzić, czy warunek
(3.16) jest spełniony, bez konieczności obliczania
dokładnych wartości pierwiastków wielomianu. To kryterium nosi nazwę kryterium Hurwitza. Istotną rolę w kryterium Hurwitza odgrywa macierz
Hurwitza. Jest ona tworzona z pomocą współczynników wielomianu
charakterystycznego i ma następującą postać
Sposób tworzenia macierzy Hurwitza jest
następujący. Macierz Hurwitza to macierz kwadratowa rozmiaru .
Na przekątnej macierzy Hurwitza umieszczamy kolejno współczynniki
. Następnie uzupełniamy wartości w kolejnych wierszach
wg następującej reguły. Jeżeli na przekątnej mamy współczynnik
, to na
prawo od niego wypisujemy kolejno współczynniki wielomianu przy coraz wyższych
potęgach
:
. Na lewo
od przekątnej wypisujemy współczynniki wielomianu przy coraz niższych
potęgach
:
. Jeżeli nie mamy już
współczynników do wpisania na lewo lub prawo od przekątnej, to wiersz
uzupełniamy zerami.
Aby sformułować kryterium Hurwitza,
musimy jeszcze wprowadzić pojęcie minora głównego macierzy
Hurwitza. -tym minorem głównym macierzy nazwiemy wyznacznik macierzy
powstałej z pierwszych
wierszy i pierwszych
kolumn macierzy
wyjściowej. Kolejne minory główne macierzy Hurwitza mają postać
Ostatnie minory główne macierzy Hurwitza mają postać
Jesteśmy przygotowani na sformułowanie kryterium Hurwitza.
spełnia następujące warunki
- wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego są dodatnie
- wszystkie minory główne macierzy Hurwitza są dodatnie
to wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego spełniają warunek
co oznacza, że punkt równowagi obiektu liniowego jest stabilny asymptotycznie. Jeżeli w którymś z warunków którakolwiek ostra nierówność ma znak przeciwny, to dla pewnego pierwiastka wielomianu charakterystycznego
zachodzi warunek
co oznacza, że punkt równowagi obiektu liniowego jest niestabilny.
Przypadki w których w kryterium Hurwitza
zamiast nierówności ostrych pojawia się równość, są potencjalnie związane ze
stabilnością nieasymptotyczną. Dla nas jednak najistotniejsze jest określenie
warunków na stabilność asymptotyczną obiektu (względnie jego
niestabilność).