1. Podstawowe pojęcia i prawa obwodów elektrycznych

1.10. Prawo napięciowe

Suma napięć w każdym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru

\(\sum_{k} u_k=0\) (1.8)

 

Sumowanie dotyczy napięć gałęziowych występujących w danym oczku zorientowanych względem dowolnie przyjętego kierunku odniesienia. Napięcie gałęziowe zgodne z tym kierunkiem jest brane z plusem a przeciwne z minusem. Sposób pisania równań wynikających z prawa napięciowego Kirchhoffa pokażemy na przykładzie oczka obwodu przedstawionego na rys. 1.8.

 

Rys. 1.8. Przykład oczka obwodu z oznaczeniami napięć gałęziowych

 

Uwzględniając kierunki napięć gałęziowych równanie napięciowe Kirchhoffa dla tego oczka przyjmie postać

\(u_1+u_2+u_3-u_4-e=0\)

 

Można je również zapisać jako bilans napięć źródłowych i odbiornikowych w postaci

\(e=u_1+u_2+u_3-u_4\)

 

Dla każdego obwodu można napisać tyle równań oczkowych ile oczek wyodrębnimy w tym obwodzie, przy czym część równań oczkowych będzie równaniami zależnymi (wynikającymi z liniowej kombinacji innych równań). Minimalna liczba równań oczkowych branych pod uwagę w analizie jest więc równa liczbie oczek niezależnych.

 

Napiszemy równania Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.9.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.9. Schemat obwodu poddanego analizie w przykładzie 1.1

 

Rozwiązanie

Zgodnie z prawami Kirchhoffa równania obwodu przyjmą następującą postać.

  • Równania prądowe:

\(i_{L1}-i_{L2}-i_C=0\)

\(i_{L2}-i_{R1}-i_{R2}=0\)

\(i_{L1}=i\)

  • Równania napięciowe:

\(u_C-u_{L2}-u_{R1}=0\)

\(u_{R1}-u_{R2}-e=0\)

 

Przedstawiony tu układ równań uzupełniony o równania elementów jest wystarczający do uzyskania wszystkich wielkości prądowych bądź napięciowych w obwodzie. Po takim uzupełnieniu uzyskuje się pełny opis obwodu a jego rozwiązanie pozwala wyznaczyć pełny rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie.

Szczególnie proste zależności otrzymuje się dla obwodu rezystancyjnego, zawierającego oprócz źródeł wymuszających jedynie rezystory oraz (ewentualnie) źródła sterowane o rzeczywistych współczynnikach sterowania. Dla takich obwodów równania elementów rezystancyjnych są dane w postaci zależności algebraicznych, które wstawione do równań Kirchhoffa pozwalają utworzyć układ równań algebraicznych o liczbie zmiennych równych liczbie równań. Sposób tworzenia takiego układu równań pokażemy na przykładzie obwodu z rys. 1.10.

 

Należy określić rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie rezystancyjnym o strukturze przedstawionej na rys. 1.10. Wartości elementów są następujące: R1 = 1W, R2 = 2W, R3 = 3W, R4 = 4W, e = 10V, iz1 = 2A, iz2 = 5A.


Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.10. Struktura obwodu poddanego analizie w przykładzie 1.2

Rozwiązanie

Z równań Kirchhoffa otrzymuje się

\(i_{z1}-i_1-i_2-i_4=0\)

\(i_2+i_4+i_{z2}-i_3=0\)

\(u_{R1}-u_{R2}+e-u_{R3}=0\)

\(u_{R2}-e-u_{R4}=0\)

Równania elementów rezystancyjnych: \( u_{R1}=R_1i_1,\) \(u_{R2}=R_2i_2,\) \(u_{R3}=R_3i_3, \) \(u_{R4}=R_4i_4\) tworzą wspólnie z równaniami Kirchhoffa następujący układ równań algebraicznych:

\(i_1+i_2+i_4=i_{z1}\)

\(i_2-i_3+i_4=-i_{z2}\)

\(R_1i_1-R_2i_2-R_3i_3=-e\)

\(R_2i_2-R_4i_4=e\)

Po wstawieniu danych liczbowych do powyższych równań otrzymuje się:

\(i_1+i_2+i_4=2\)

\(i_2-i_3+i_4=-5\)

\(i_1-2i_2-3i_3=-10\)

\(2i_2-4i_4=10\)

W wyniku rozwiązania tego układu równań otrzymuje się: i1 = 3,187A, i2 = 0,875A, i3 = 3,812A oraz i4 = -2,062A. Łatwo sprawdzić przez podstawienie obliczonych wartości do układu równań, że bilans prądów w każdym węźle oraz bilans napięć w każdym oczku obwodu jest zerowy.