Podręcznik: Transfiguracja gwiazda-trójkąt i trójkąt-gwiazda

1. Podstawowe pojęcia i prawa obwodów elektrycznych

1.14. Transfiguracja gwiazda-trójkąt i trójkąt-gwiazda

Operowanie uproszczonym schematem wynikającym z połączenia szeregowego i równoległego elementów jest najwygodniejszym sposobem redukcji obwodu. W przypadku gdy nie ma elementów połączonych szeregowo lub równolegle możliwe jest dalsze uproszczenie obwodu przez zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójką lub trójkąt-gwiazda. Przyjęte oznaczenia elementów rezystancyjnych trójkąta i gwiazdy są przedstawione na rys. 1.13.

Rys. 1.13. Połączenie a) trójkątne i b) gwiazdowe elementów

Transfiguracja trójkąta na gwiazdę lub gwiazdy na trójkąt polega na przyporządkowaniu danej konfiguracji elementów konfiguracji zastępczej, równoważnej jej z punktu widzenia zacisków zewnętrznych (te same prądy przy tych samych napięciach międzyzaciskowych). Dla uzyskania niezmienionych prądów zewnętrznych obwodu gwiazdy i trójkąta rezystancje między parami tych samych zacisków gwiazdy i trójkąta powinny być takie same. Zostało udowodnione, że warunki powyższe są automatycznie spełnione, jeśli przy zamianie gwiazdy na trójkąt spełnione są następujące warunki na rezystancje

$R_{12}=R_1+R_2+\frac{R_1R_2}{R_3}$

(1.13)

$R_{23}=R_2+R_3+\frac{R_2R_3}{R_1}$

(1.14)

$R_{31}=R_3+R_1+\frac{R_3R_1}{R_2}$

(1.15)

Podobnie przy zamianie trójkąta na gwiazdę rezystancje gwiazdy muszą spełniać warunki

$R_1=\frac{R_{12}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$

(1.16)

$R_2=\frac{R_{23}R_{12}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$

(1.17)

$R_3=\frac{R_{31}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$

(1.18)

Przekształcenia równoważne obwodu wykorzystujące reguły połączenia szeregowego, równoległego oraz przekształcenia gwiazda-trójkąt i trójkąt-gwiazda umożliwiają dalszą redukcję tego obwodu i po wykonaniu odpowiedniej liczby przekształceń pozwalają zawsze na sprowadzenie go do pojedynczego elementu zastępczego.

Określić rezystancję zastępczą obwodu przedstawionego na rys. 1.14, widzianą z zacisków 1-2. Wartości rezystancji są następujące: $R_1=2\Omega,$ $R_2=4\Omega,$ $R_3=3\Omega,$ $R_4=2\Omega,$ $R_5=4\Omega,$ $R_6=5\Omega,$ $R_7=5\Omega$ oraz $R_8=10\Omega$ .

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.14. Struktura obwodu do przykładu 1.3

Rozwiązanie

Z punktu widzenia zacisków wejściowych 1-2 w obwodzie nie można wyróżnić żadnego połączenia szeregowego czy równoległego elementów upraszczających obwód. Dla uproszczenia struktury tego obwodu konieczne jest więc zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójkąt lub trójkąt-gwiazda w stosunku do rezystorów położonych najdalej od węzłów wejściowych (w wyniku przekształcenia nie mogą ulec likwidacji węzły wejściowe obwodu). Zamieniając gwiazdę złożoną z rezystorów R₂, R₃, i R₅ na równoważny jej trójkąt otrzymuje się

$R_{23}=3+4+\frac{3\cdot4}{4}=10$

$R_{35}=3+4+\frac{3\cdot4}{4}=10$

$R_{25}=4+4+\frac{4\cdot4}{3}=13,33$

Schemat obwodu po tym przekształceniu przedstawiony jest na rys. 1.15a.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.15. Schemat obwodu z rys. 1.14 po przekształceniu gwiazda-trójkąt

W obwodzie tym można już wyróżnić połączenia równoległe elementów R₁ i R₂₃ oraz R₄ i R₃₅. Wykorzystując regułę upraszczania elementów połączonych równolegle otrzymuje się (rys. 1.15b)

$R_{z1}=\frac{R_1\cdot R_{23}}{R_1+R_{23}}=1,667$

$R_{z2}=\frac{R_4\cdot R_{35}}{R_4+R_{35}}=1,667$

Rezystory R_z1 i R_z2 są połączone szeregowo. Ich rezystancja zastępcza jest równa

R_z3= R_z1+ R_z2= 3,333

Jest ona połączona równolegle z rezystorem R₂₅. Stąd rezystancja zastępcza tego połączenia wynosi (rys. 1.15c)

$R_{z4}=\frac{3,333\cdot13,33}{3,333+13,33}=2,667$

Rezystory R₆, R_z4 i R₇ są połączone szeregowo. Ich rezystancja zastępcza wynosi więc

R_z5= R₆+ R_z4+ R₇= 12,667

Rezystancja ta jest z kolei połączona równolegle z rezystancją R₈ tworząc wypadkową rezystancję obwodu widzianą z zacisków zewnętrznych. Stąd całkowita rezystancja zastępcza obwodu wyraża się wzorem

$R_{we}=\frac{R_{z5}R_8}{R_{z5}+R_8}=\frac{12,667\cdot10}{12,667+10}=5,588\Omega$

Należy zaznaczyć, że przekształcenia gwiazda-trójkąt i trójkąt-gwiazda są bardziej złożone obliczeniowo w stosunku do reguły upraszczania połączenia szeregowego i równoległego. Stosuje się je tylko wtedy, gdy w obwodzie nie da się wyróżnić żadnych połączeń szeregowych i równoległych.