Podręcznik

1. Narysować przebiegi funkcji sigmoidalnej unipolarnej  \( f(u)= \frac{1}{1+ \exp ( - \beta u )} \) oraz bipolarnej \( f_b(u) = \text{tgh} (\beta u) \) w funkcji zmiennej u dla różnych wartości współczynnika \( \beta \) od 0.1 do 10.

2. Inną postacią funkcji sigmoidalnej jest  \( f(u) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \). Wykreślić jej przebieg w funkcji zmiennej u. Udowodnić, że pochodna tej funkcji jest równa  \( \frac{df(u)}{du} = \frac{f^3(u)}{u^3} \). Wykreślić przebieg pochodnej jako funkcję zmiennej u.

3. Neuron otrzymuje pobudzenie w postaci sygnałów wejściowych tworzących wektor \(\mathbf{<span>x}=[10 \; -10 \; 2 \; -2]^T\).  Wektor wag wejściowych jest równy \(\mathbf{<span>x}=[0.4 \; 0.3\; -1\; 0.8]^T\). Określić odpowiedź tego neuronu przy założeniu, że

• neuron jest liniowy

• neuron jest reprezentowany przez model McCullocha-Pittsa

• neuron jest sigmoidalny bipolarny \( f_b(u) = \text{tgh}(u) \).

4. Porównać kształt funkcji radialnej gaussowskiej przy różnych wartościach parametru \( \sigma \). Wykreślić te funkcje na wspólnym wykresie. Narysować wykres zmian zależności sumy trzech funkcji gaussowskich o centrach przesuniętych w taki sposób, że suporty każdej z nich częściowo pokrywają się ze sobą, przy różnych wartościach \( \sigma \) jako funkcje zmiennej wejściowej \(x\).

5. Neuron RBF o gaussowskiej funkcji aktywacji z centrum \(\mathbf{<span>c}=[1 \; 0.5 \; 0.2 ]^T \) i wartością \( \sigma = 0.5\) otrzymał pobudzenie sygnałami \(x\) tworzącymi wektor trójwymiarowy \(\mathbf{x}=[0.8 \; 0.2 \; 0.1]^T \). Określić sygnał wyjściowy neuronu dla każdego z tych pobudzeń.

6. Dwa neurony o wagach: \(\mathbf{w}_1=[ 0.1 \; -0.2 \; 0.5 ]^T \), \(\mathbf{w}_2= [ -0.5 \; 0.5 \; 0.8]^T\) trenowane są poprzez współzawodnictwo w trybie WTA. Określić ich wagi po pierwszej iteracji przy istnieniu następujących wektorów uczących: \(\mathbf{x}=[ 0.1 \; 0.1 \; 0.6 ]^T \), \(\mathbf{x}= [ 0.2 \; -0.3 \; 0,7 ]^T \), \(\mathbf{x}= [ 0 \; -0.31 \; 0.9 ]^T \), \(\mathbf{x} = [ -0.4  \; 0.4  \; 0.9]^T \), \(\mathbf{x}= [-0.3  \; 0.6 \; 0.7]^T\), \(\mathbf{x}= [ 0.1 \; 0 \; 0.5]^T \), \(\mathbf{x}= [ -0.2 \; 0.6  \; 0.9]^T \), \(\mathbf{x}= [ -0.6 \; 0.3 \; 0.7]^T \) przy założeniu \(\eta=0.2\).

7. Dwa neurony o wagach \(\mathbf{w}_1=[ 0.2  \; 0.3 \;  0.8 ]^T \), \(\mathbf{w}_2= [ -1 \; 0.5 \; 0.5]^T \) pobudzono tymi samymi sygnałami \(x\) tworzącymi wektor \(\mathbf{x}= [ 0.1 \; 0.4 \; 0.6]^T \). Określić zwycięzcę posługując się miarą odległościową oraz iloczynem skalarnym wektorów.