Podręcznik
2. Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym
2.7. Rezonans równoległy
Rezonans prądów zwany również rezonansem równoległym może wystąpić w obwodzie zawierającym połączenie równoległe elementów RLC. Istnieje wiele struktur obwodów, w których może powstać rezonans prądów. Warunkiem jest pojawienie się równoległego połączenia cewki i kondensatora, przy czym zarówno cewka jak i kondensator może być w układzie połączeń z innymi elementami rezystancyjnymi. Na rys. 2.12 przedstawiono przykładowy najprostszy obwód rezonansu równoległego RLC.
Rys. 2.12 Obwód rezonansowy równoległy RLC
Podobnie jak w przypadku obwodu szeregowego przyjmiemy wymuszenie sinusoidalne o zmiennej częstotliwości, ale tym razem założymy je w postaci źródła prądowego \(i(t)=I_msin{(}\omega t)\) . Wykorzystując w opisie obwodu metodę symboliczną równanie prądowe Kirchhoffa dla tego obwodu przyjmie postać
| \(I=I_R+I_L+I_C=GU+j\omega CU-\frac{jU}{\omega L}=U\left[G+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)\right]\) | (2.45) |
Warunkiem rezonansu równoległego jest przyjęcie przez kąt fazowy między prądem I oraz napięciem U wartości równej zeru. Nastąpi to wtedy, gdy część urojona zależności (2.45) przyjmie wartość zerową, czyli gdy
| \(\omega C=\frac{1}{\omega L}\rightarrow\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\) | (2.46) |
Warunek powyższy będzie spełniony, gdy częstotliwość zasilania przyjmie wartość częstotliwości rezonansowej określonej zależnością
| \(f_r=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) | (2.47) |
Jak widać częstotliwość rezonansowa w obwodzie równoległym z rys. 2.12 jest określona identycznym wzorem jak w obwodzie szeregowym RLC. W odróżnieniu od obwodu szeregowego w obwodzie równoległym dobrocią nazywamy stosunek prądu \(I_L\) lub \(I_C\) (są sobie równe w chwili rezonansu) do prądu \(I_R\) w elemencie rezystancyjnym \(I_R\)
| \(Q=\frac{| I_{L}| }{| I_{R}| } =\frac{| I_{C}| }{| I_{R}| } =\frac{\omega _{r} C}{G} =\frac{1}{\omega _{r} GL}\) | (2.48) |
Po uwzględnieniu \(G=1/R\) i wzoru (2.47) na częstotliwość rezonansową otrzymuje się relację określającą dobroć równoległego obwodu rezonansowego RLC o strukturze przedstawionej na rys. 2.12 w postaci
| \(Q=\frac{R}{\sqrt{\frac{L}{C}}}\) | (2.49) |
Tym razem dobroć obwodu jest wprost proporcjonalna do wartości rezystancji a odwrotnie proporcjonalna do rezystancji charakterystycznej. Dobroć obwodu wzrasta więc ze wzrostem wartości rezystancji, odwrotnie niż to miało miejsce w obwodzie rezonansu szeregowego (przy większej rezystancji równoległej płynie przez nią mniejszy prąd upływnościowy).
Dobroć Q, podobnie jak w obwodzie rezonansu szeregowego, ma ogromny wpływ na charakterystyki częstotliwościowe obwodu RLC. Zauważmy, że z równania (2.45) można wyznaczyć napięcie na elementach R, L, C w postaci
| \(U\left(\omega\right)=\frac{I}{G+j\omega C-j1/\omega L}=\left|U(\omega)\right|e^{j\phi(\omega)}\) | (2.50) |
w którym \(\left|U(\omega)\right|\) oznacza moduł napięcia a \(\phi(\omega)\) - fazę uzależnioną od częstotliwości prądu zasilającego. Wielkości te opisane są następującą funkcją
| \(\left|U(\omega)\right|=\frac{\left|I\right|}{\sqrt{G^2+\left(\omega C-1/\omega L\right)^2}}\) | (2.51) |
| \(\phi(\omega)=-arctg{\frac{\omega C-1/\omega L}{G}}\) | (2.52) |
Na rys. 2.13 przedstawiono charakterystykę modułu napięcia (charakterystykę amplitudową) i wykres fazy napięcia (charakterystykę fazową) w funkcji pulsacji
Rys. 2.13 Charakterystyka amplitudowa (powyżej) i fazowa (ponizej) napięcia w obwodzie równoległym RLC
W punkcie rezonansowym (częstotliwość zasilania równa częstotliwości rezonansowej) charakterystyka amplitudowa przyjmuje wartość maksymalną a faza wartość zerową. Charakterystyki te są analogiczne do charakterystyk dla obwodu szeregowego przy uwzględnieniu formalnych zmian występujących we wzorach (prąd w obwodzie szeregowym odpowiada napięciu na połączeniu równoległym elementów). Zmiana kształtu charakterystyk częstotliwościowych obwodu równoległego na skutek zmian dobroci jest również identyczna jak miało to miejsce w obwodzie szeregowym RLC. Odpowiednikiem napięcia na elementach L i C w obwodzie szeregowym jest prąd tych elementów w obwodzie równoległym. Zachowanie się tych charakterystyk w funkcji pulsacji wynika z prawa Ohma dla cewki i kondensatora, to jest
| \(I_C(\omega)=j\omega CU(\omega)\) | (2.53) |
oraz
| \(I_L(\omega)=-\frac{jU(\omega)}{\omega L}\) | (2.54) |
Ograniczając się jedynie do charakterystyk amplitudowych można łatwo wykazać, że charakterystyki te opisują się następującymi wzorami
| \(\left|I_C(\omega)\right|=\frac{\left|I\right|\omega C}{\sqrt{G^2+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^2}}\) | (2.55) |
| \(\left|I_L(\omega)\right|=\frac{\left|I\right|}{\omega L\sqrt{G^2+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^2}}\) | (2.56) |
Na rys. 2.14 przedstawiono charakterystyki amplitudowe prądu cewki i kondensatora w funkcji pulsacji dla dobroci \(Q<\frac{1}{\sqrt2}\) wynikające z relacji (2.55) i (2.56).
Rys. 2.14 Charakterystyki amplitudowe prądu cewki i kondensatora
Zmiana dobroci obwodu wpływa w zasadniczy sposób na przebieg tych charakterystyk. Można łatwo udowodnić, że dla dobroci \(Q>\frac{1}{\sqrt2}\) pojawiają się punkty ekstremalne (maksima) w obu charakterystykach, podobnie jak przy rezonansie szeregowym, przy czym występuje przesunięcie tych maksimów względem punktu rezonansowego. Przesunięcie to maleje wraz ze zwiększaniem się dobroci. Przy dobroci \(Q\le\frac{1}{\sqrt2}\) punkty ekstremalne w obu charakterystykach nie występują a przebieg charakterystyk amplitudowych staje się monotoniczny.
Rezonans równoległy podobnie jak szeregowy ma głównie zastosowanie w układach filtrów i generatorów, gdzie pełni rolę układu przepuszczającego lub wzmacniającego sygnały w określonym zakresie częstotliwości i tłumiącego w pozostałym zakresie.