Podręcznik: Rezonans równoległy

2. Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

2.7. Rezonans równoległy

Rezonans prądów zwany również rezonansem równoległym może wystąpić w obwodzie zawierającym połączenie równoległe elementów RLC. Istnieje wiele struktur obwodów, w których może powstać rezonans prądów. Warunkiem jest pojawienie się równoległego połączenia cewki i kondensatora, przy czym zarówno cewka jak i kondensator może być w układzie połączeń z innymi elementami rezystancyjnymi. Na rys. 2.12 przedstawiono przykładowy najprostszy obwód rezonansu równoległego RLC.

rys6_7

Rys. 2.12 Obwód rezonansowy równoległy RLC

Podobnie jak w przypadku obwodu szeregowego przyjmiemy wymuszenie sinusoidalne o zmiennej częstotliwości, ale tym razem założymy je w postaci źródła prądowego $i(t)=I_msin{(}\omega t)$ . Wykorzystując w opisie obwodu metodę symboliczną równanie prądowe Kirchhoffa dla tego obwodu przyjmie postać

$I=I_R+I_L+I_C=GU+j\omega CU-\frac{jU}{\omega L}=U\left[G+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)\right]$

(2.45)

Warunkiem rezonansu równoległego jest przyjęcie przez kąt fazowy między prądem I oraz napięciem U wartości równej zeru. Nastąpi to wtedy, gdy część urojona zależności (2.45) przyjmie wartość zerową, czyli gdy

$\omega C=\frac{1}{\omega L}\rightarrow\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

(2.46)

Warunek powyższy będzie spełniony, gdy częstotliwość zasilania przyjmie wartość częstotliwości rezonansowej określonej zależnością

$f_r=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

(2.47)

Jak widać częstotliwość rezonansowa w obwodzie równoległym z rys. 2.12 jest określona identycznym wzorem jak w obwodzie szeregowym RLC. W odróżnieniu od obwodu szeregowego w obwodzie równoległym dobrocią nazywamy stosunek prądu $I_L$ lub $I_C$ (są sobie równe w chwili rezonansu) do prądu $I_R$ w elemencie rezystancyjnym $I_R$

$Q=\frac{| I_{L}| }{| I_{R}| } =\frac{| I_{C}| }{| I_{R}| } =\frac{\omega _{r} C}{G} =\frac{1}{\omega _{r} GL}$

(2.48)

Po uwzględnieniu $G=1/R$ i wzoru (2.47) na częstotliwość rezonansową otrzymuje się relację określającą dobroć równoległego obwodu rezonansowego RLC o strukturze przedstawionej na rys. 2.12 w postaci

$Q=\frac{R}{\sqrt{\frac{L}{C}}}$

(2.49)

Tym razem dobroć obwodu jest wprost proporcjonalna do wartości rezystancji a odwrotnie proporcjonalna do rezystancji charakterystycznej. Dobroć obwodu wzrasta więc ze wzrostem wartości rezystancji, odwrotnie niż to miało miejsce w obwodzie rezonansu szeregowego (przy większej rezystancji równoległej płynie przez nią mniejszy prąd upływnościowy).

Dobroć Q, podobnie jak w obwodzie rezonansu szeregowego, ma ogromny wpływ na charakterystyki częstotliwościowe obwodu RLC. Zauważmy, że z równania (2.45) można wyznaczyć napięcie na elementach R, L, C w postaci

$U\left(\omega\right)=\frac{I}{G+j\omega C-j1/\omega L}=\left|U(\omega)\right|e^{j\phi(\omega)}$

(2.50)

w którym $\left|U(\omega)\right|$ oznacza moduł napięcia a $\phi(\omega)$ - fazę uzależnioną od częstotliwości prądu zasilającego. Wielkości te opisane są następującą funkcją

$\left|U(\omega)\right|=\frac{\left|I\right|}{\sqrt{G^2+\left(\omega C-1/\omega L\right)^2}}$

(2.51)

$\phi(\omega)=-arctg{\frac{\omega C-1/\omega L}{G}}$

(2.52)

Na rys. 2.13 przedstawiono charakterystykę modułu napięcia (charakterystykę amplitudową) i wykres fazy napięcia (charakterystykę fazową) w funkcji pulsacji ω dla obwodu rezonansowego o ω_r=1 i dobroci Q=0,6.

rys6_8

Rys. 2.13 Charakterystyka amplitudowa (powyżej) i fazowa (ponizej) napięcia w obwodzie równoległym RLC

W punkcie rezonansowym (częstotliwość zasilania równa częstotliwości rezonansowej) charakterystyka amplitudowa przyjmuje wartość maksymalną a faza wartość zerową. Charakterystyki te są analogiczne do charakterystyk dla obwodu szeregowego przy uwzględnieniu formalnych zmian występujących we wzorach (prąd w obwodzie szeregowym odpowiada napięciu na połączeniu równoległym elementów). Zmiana kształtu charakterystyk częstotliwościowych obwodu równoległego na skutek zmian dobroci jest również identyczna jak miało to miejsce w obwodzie szeregowym RLC. Odpowiednikiem napięcia na elementach L i C w obwodzie szeregowym jest prąd tych elementów w obwodzie równoległym. Zachowanie się tych charakterystyk w funkcji pulsacji wynika z prawa Ohma dla cewki i kondensatora, to jest

$I_C(\omega)=j\omega CU(\omega)$

(2.53)

oraz

$I_L(\omega)=-\frac{jU(\omega)}{\omega L}$

(2.54)

Ograniczając się jedynie do charakterystyk amplitudowych można łatwo wykazać, że charakterystyki te opisują się następującymi wzorami

$\left|I_C(\omega)\right|=\frac{\left|I\right|\omega C}{\sqrt{G^2+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^2}}$

(2.55)

$\left|I_L(\omega)\right|=\frac{\left|I\right|}{\omega L\sqrt{G^2+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^2}}$

(2.56)

Na rys. 2.14 przedstawiono charakterystyki amplitudowe prądu cewki i kondensatora w funkcji pulsacji dla dobroci $Q$ wynikające z relacji (2.55) i (2.56).

rys6_9

Rys. 2.14 Charakterystyki amplitudowe prądu cewki i kondensatora

Zmiana dobroci obwodu wpływa w zasadniczy sposób na przebieg tych charakterystyk. Można łatwo udowodnić, że dla dobroci $Q>\frac{1}{\sqrt2}$ pojawiają się punkty ekstremalne (maksima) w obu charakterystykach, podobnie jak przy rezonansie szeregowym, przy czym występuje przesunięcie tych maksimów względem punktu rezonansowego. Przesunięcie to maleje wraz ze zwiększaniem się dobroci. Przy dobroci $Q\le\frac{1}{\sqrt2}$ punkty ekstremalne w obu charakterystykach nie występują a przebieg charakterystyk amplitudowych staje się monotoniczny.

Załączony program „Rezonans prądów w obwodzie równoległym RLC” pozwala obserwować zmiany wartości prądów i napięcia na elementach RLC w obwodzie równoległym zasilanych ze źródła prądowego I. Użytkownik może zmieniać wartości zarówno źródła jak i parametrów poszczególnych elementów obwodu . Program automatycznie tworzy wykresy prądów i napięcia na elementach dla podanych wartości elementów. Jednocześnie pokazuje aktualną wartość dobroci i częstotliwości rezonansowej odpowiadających zadanym wartościom parametrów.

Rezonans równoległy podobnie jak szeregowy ma głównie zastosowanie w układach filtrów i generatorów, gdzie pełni rolę układu przepuszczającego lub wzmacniającego sygnały w określonym zakresie częstotliwości i tłumiącego w pozostałym zakresie.