3. Moce w obwodach RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym

3.8. Dopasowanie odbiornika do źródła

Rzeczywiste źródło energii elektrycznej można przedstawić w postaci szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia E oraz impedancji wewnętrznej źródła Zg jak to przedstawiono na rys. 3.4

Rys. 3.4. Model rzeczywistego źródła napięciowego generatora

 

Rozważmy elementarny obwód złożony z rzeczywistego źródła napięcia oraz impedancji odbiornika Z jak to przedstawiono na rys. 3.5.

Rys. 3.5. Rzeczywiste źródło napięcia obciążone impedancją Z


Przyjmijmy ogólny model impedancji wewnętrznej źródła w postaci (znak plus przy reaktancji oznacza indukcyjność, a znak minus pojemność)
 

\(Z_g=R_g\pm jX_g\) (3.23)

 

Podobnie założymy, że impedancję odbiornika stanowi połączenie szeregowe rezystancji R oraz reaktancji ±X, to jest

\(Z=R\pm jX\) (3.24)

 

Dopasowanie odbiornika do generatora rozumiemy jako dobór takiej impedancji odbiornika, przy której odbiornik pobierze ze źródła maksymalną moc czynną. Z analizy obwodu przedstawionego na rys. 3.5 wynika, że moc czynna P odbiornika jest określona zależnością

\(P=\left|I\right|^2R=\frac{\left|E\right|^2}{\left|Z_g+Z\right|^2}R=\frac{\left|E\right|^2R}{\left(R_g+R\right)^2+\left(\pm X_g\pm X\right)^2}\) (3.25)

 

Przy ustalonej wartości rezystancji odbiornika wyrażenie powyższe osiąga maksimum dla 

\(X=-X_g\) (3.26)

 

Znak minus oznacza, że reaktancja odbiornika powinna mieć charakter odwrotny do reaktancji generatora. Przy indukcyjnym charakterze impedancji źródła, odbiornik powinien mieć charakter pojemnościowy a przy charakterze pojemnościowym generatora odbiornik powinien mieć charakter indukcyjny.
Po uwzględnieniu tej zależności wyrażenie na moc przyjmie uproszczoną postać

\(P=\frac{\left|E\right|^2R}{\left(R_g+R\right)^2}\) (3.27)

 

Wydzielenie maksymalnej mocy czynnej na rezystorze wymaga, aby pochodna funkcji mocy względem rezystancji R równała się zeru, czyli 

\(\frac{dP(R)}{dR}=0\) (3.28)

 

czyli

\(\frac{\left(R_g+R\right)^2-2R\left(R_g+R\right)}{\left(R_g+R\right)^4}\left|E\right|=0\) (3.29)

 

Równane powyższe jest spełnione dla wartości rezystancji obciążenia równej rezystancji źródła, czyli

\(R=R_g\) (3.30)

 

Można łatwo sprawdzić, że przy takim warunku druga pochodna funkcji mocy względem rezystancji jest ujemna, co oznacza, że mamy do czynienia z maksimum mocy. Ostatecznie stwierdzamy, że warunkiem dopasowania odbiornika do generatora ze względu na moc czynną jest taki dobór odbiornika, aby jego impedancja była sprzężona do impedancji generatora, to znaczy \(Z=Z_g^\ast\). Łatwo jest pokazać, że przy spełnieniu powyższego warunku na impedancji odbiornika wydzieli się maksymalna moc czynna \(P_{max}\) równa

\({P\frac{\left|E\right|^2}{4R_g}}_{max}\) (3.32)

 

Biorąc pod uwagę, że w obwodzie istnieją dwie identyczne rezystancje (odbiornika i generatora), przez które przepływa identyczny prąd moc maksymalna odbiornika stanowi 50% całkowitej mocy wydzielanej przez źródło idealne.