Podręcznik: Metoda oparta na twierdzeniu Thevenina

4. Metody analizy złożonych obwodów RLC w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

4.2. Metoda oparta na twierdzeniu Thevenina

Jednym z ważniejszych twierdzeń w teorii obwodów jest twierdzenie Thevenina. Pozwala ono zastąpić złożony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartościach elementów, przez obwód prosty będący połączeniem szeregowym jednej impedancji zastępczej oraz źródła napięciowego. Oznacza to uproszczenie obwodu do jednego oczka, co umożliwia w bardzo prosty sposób wyznaczenie prądu lub napięcia jednej wybranej gałęzi obwodu.

Twierdzenie Thevenina

Dowolny, aktywny obwód liniowy można zastąpić od strony wybranych zacisków gałęzi AB uproszczonym obwodem równoważnym, złożonym z szeregowego połączenia jednego idealnego źródła napięcia i impedancji zastępczej obwodu. Wartość źródła zastępczego oblicza się na podstawie analizy obwodu oryginalnego jako napięcie panujące na zaciskach AB. Impedancja zastępcza widziana z zacisków AB dotyczy obwodu po zwarciu wszystkich niezależnych źródeł napięcia oraz rozwarciu niezależnych źródeł prądu.

Rys. 4.1 przedstawia sposób transformacji obwodu widzianego z zacisków AB zgodnie z twierdzeniem Thevenina

Rys. 4.1 Ilustracja transformacjo obwodowej twierdzenia Thevenina

Korzystając z twierdzenia Thevenina można w prosty sposób wyznaczyć prąd w dowolnej gałęzi obwodu. Rozważmy obwód liniowy z rys. 4.2 z wyszczególnioną gałęzią AB w której poszukiwany jest prąd I. Prawa strona rysunku przedstawia otrzymany obwód po jego transformacji zgodnie z twierdzeniem Thevenina. Obwód składa się z jednego oczka którego prąd jest poszukiwanym prądem I.

Rys. 4.2. Transformacja obwodu zgodnie z twierdzeniem Thevenina

Źródło $U_{AB}$ występujące na rysunku reprezentuje źródło zastępcze obwodu liniowego, określone jako napięcie na zaciskach AB po odłączeniu impedancji Z. Impedancja $Z_{AB}$ jest impedancją zastępczą obwodu liniowego po odłączeniu impedancji Z i wyeliminowaniu wszystkich źródeł niezależnych (zwarciu źródeł napięciowych i rozwarciu źródeł prądowych). Poszukiwana wartość prądu płynącego przez impedancję Z może być określona przy wykorzystaniu prawa napięciowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu uproszczonego. Jego zastosowanie pozwala wyrazić prąd I w następującej postaci

$I=\frac{U_{AB}}{Z+Z_{AB}}$

(4.1)

Zastosowanie twierdzenia Thevenina w większości przypadków znakomicie upraszcza analizę obwodu. Jest szczególnie użyteczna w przypadkach, w których trzeba wyznaczyć tylko jeden prąd w obwodzie, gdyż można dokonać tego bez konieczności rozwiązywania układu równań algebraicznych lub przy znacznej redukcji liczby tych równań.

Korzystając z twierdzenia Thevenina wyznaczyć prąd I w gałęzi AB obwodu mostka przedstawionego na rys. 4.3, jeśli $e(t)=10\sqrt2sin{(}\omega t)$ , $R_0=7,5\mathrm{\Omega}$ , $R_1=5\mathrm{\Omega}$ , $R_2=5\mathrm{\Omega}$ a reaktancje cewki i kondensatora są równe odpowiednio $X_L=\omega L=5\mathrm{\Omega}$ oraz $X_C=1/\omega C=10\mathrm{\Omega}$ , $X_{C0}=1/\omega C_0=5\mathrm{\Omega}$ .

Uzupelnij opis obrazka
Rys. 4.3. Schemat obwodu do przykładu 4.2

Rozwiązanie

Wartości parametrów gałęzi zastępczej Thevenina oblicza się po odłączeniu gałęzi AB, w której obliczany jest prąd. Na rys. 4.4a przedstawiono schemat obwodu do wyznaczenia impedancji zastępczej Thevenina.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 4.4. Postaci obwodu do wyznaczania a) impedancji zastępczej Thevenina,
b) napięcia źródła zastępczego

Łatwo pokazać, że impedancja zastępcza tego obwodu jest równa

$Z_{AB}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}+\frac{Z_LZ_C}{Z_L+Z_C}=\frac{5\cdot5}{5+5}+\frac{j5\cdot(-j10)}{j5-j10}=2,5+j10$

Rys. 4.4b przedstawia obwód do obliczenia wartości źródła zastępczego U_{AB} w schemacie zastępczym Thevenina. Obliczając kolejno prądy

$I_1=\frac{E}{R_1+R_2}=1$

$I_2=\frac{E}{jX_L-jX_C}=2j$

napięcie $U_{AB}$ określa się ze wzoru

$U_{AB}=R_1I_1-Z_CI_2=-15$

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 4.5 Schemat obwodu zastępczego wynikającego z twierdzenia Thevenina

Wykorzystując obwód zastępczy Thevenina z rys. 4.5 i prawo napięciowe Kirchhoffa, wartość skuteczną zespoloną prądu I określa się ze wzoru

$I=\frac{U_{AB}}{Z_{AB}+R_0-jX_{C0}}=\frac{-15}{2,5+j10+7,5-j5}=\frac{-15}{11,18e^{j26}}=1,34e^{-j154^\circ}$

Wartości chwilowe prądu i(t) określone są zależnością

$i(t)=1,34\sqrt2sin{(}\omega t-154^\circ)A$

Zauważmy, że zastosowanie twierdzenia Thevenina umożliwiło rozwiązanie obwodu względem jednego wybranego prądu bez konieczności rozwiązania układu równań algebraicznych opisujących cały obwód.