Podręcznik: Analiza transformatora zbudowanego z cewek magnetycznie sprzężonych

1. Obwody ze sprzężeniami magnetycznymi

1.8. Analiza transformatora zbudowanego z cewek magnetycznie sprzężonych

Transformator rzeczywisty realizuje się w układzie cewek magnetycznie sprzężonych, nawiniętych na korpusie (rdzeniu) wykonanym z materiału ferromagnetycznego, zapewniającego bliskie idealnemu sprzężenie magnetyczne (k≈1). Model uproszczony transformatora magnetycznego (bez uwzględnienia rezystancji uzwojeń) obciążonego impedancją Z_o jest przedstawiony na rys. 1.12.

Rys. 1.12. Realizacja idealnego transformatora w układzie dwu cewek magnetycznie sprzężonych

Indukcyjności własne uzwojeń oznaczone są przez L₁ i L₂ a indukcyjność wzajemna przez M, przy czym $M=k\sqrt{L_1L_2}$ . Napięcie zasilające wywołuje w obwodzie pierwotnym prąd I₁, wytwarzający strumień magnetyczny. Energia obwodu pierwotnego przenosi się do obwodu wtórnego poprzez sprzężenie magnetyczne, zaznaczone symbolicznie jako indukcyjność wzajemna M. Pod wpływem zaindukowanego napięcia przy zamkniętym obwodzie wtórnym płynie prąd I₂, odkładając na impedancji odbiornika napięcie U₂.

Analizując transformator w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym zastosujemy metodę symboliczną zespoloną. Z definicji sprzężenia magnetycznego obu cewek przy założonym zwrocie prądów i przyjęciu początków uzwojeń jak na rys. 1.12 wynikają następujące równania opisujące obwód

$U_1=jX_{L1}I_1+jX_MI_2$	(1.20)
$U_2=-\left[jX_{L2}I_2+jX_MI_1\right]$	(1.21)

Znak minus występujący we wzorze na U₂ wynika z kierunku U₂ zaznaczonego na rysunku 1.12. Z równań (1.20) i (1.21) wynika następujący wzór określający napięcie wyjściowe

$U_2=-\left[\frac{X_M}{X_{L1}}U_1+jI_2\left(\frac{X_{L1}X_{L2}-X_M^2}{X_{L1}}\right)\right]$

(1.22)

Dla właściwego działania transformatora jest wymagane, aby napięcie wyjściowe U₂ nie zależało od prądu obciążenia I₂. Wymaganie to może być spełnione, jeśli współczynnik występujący przy I₂ będzie równy zeru (lub pomijalnie mały). Zauważmy, że przy założeniu wyidealizowanego transformatora $k\approx1$ zachodzi $X_M^2\approx X_{L1}X_{L2}$ . Warunek taki jest w przybliżeniu spełniony dla transformatorów o rdzeniu ferromagnetycznym. Oznacza to, że niezależnie od obciążenia relacja między napięciem pierwotnym i wtórnym dana jest wówczas w postaci

$U_2\approx-\frac{X_M}{X_{L1}}U_1$

(1.23)

Jeśli uwzględnimy, że reaktancje cewek są proporcjonalne do liczby zwojów według relacji $X_{L1}=Kz_1^2$ , $X_{L2}=Kz_2^2$ , $X_M=Kz_1z_2$ gdzie K oznacza pewną stałą konstrukcyjną, to z zależności (1.23) wynika

$\frac{U_2}{U_1}=-\frac{z_2}{z_1}=-\frac{1}{n}$

(1.24)

Napięcie wtórne takiego transformatora jest zależne wyłącznie od przekładni zwojowej i napięcia wejściowego układu (znak minus nie odgrywa żadnej roli a jedynie oznacza przesunięcie fazowe 180o napięcia wyjściowego względem wejściowego). Ostatnia zależność pokazuje, że prąd obciążenia nie ma wpływu na wielkość napięcia wyjściowego. Jest to zatem realizacja podstawowej zależności charakterystycznej dla transformatora idealnego. Przy pominięciu strat w transformatorze moc na wejściu równa się mocy wyjściowej, stąd relacja między prądem pierwotnym i wtórnym spełnia również drugą zależność transformatora idealnego (wzór 1.16). Wynika stąd że transformator z rdzeniem ferromagnetycznym jest dobrym przybliżeniem transformatora idealnego.