Podręcznik: Postać trygonometryczna szeregu Fouriera

2. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniu niesinusoidalnym

2.2. Postać trygonometryczna szeregu Fouriera

Każda funkcja okresowa f(t) spełniająca wymienione wyżej warunki Dirichleta może być wyrażona za pomocą nieskończonego, zbieżnego szeregu Fouriera. Suma tego szeregu dla dowolnego punktu czasu t może być wyrażona w postaci

$f(t)=F_0+\sum\limits_{k=1}^{\infty}F_ksin{(}k\omega\ t+\psi_k)$

(2.3)

lub

$f(t)=A_0+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[A_kcos{(}k\omega t)+B_ksin{(}k\omega t)\right]$

(2.4)

Szereg po prawej stronie równań (2.3) i (2.4) nazywać będziemy szeregiem trygonometrycznym Fouriera. W szeregu tym wyróżnić należy następujące parametry

$k$	- rząd harmonicznej (k = 1, 2, 3,...)
$F_k$	- amplituda k-tej harmonicznej
$F_0=A_0$	- składowa stała przebiegu
$\psi_k$	- faza początkowa k-tej harmonicznej
$\omega=2\pi\ f=\frac{2\pi}{T}$	- pulsacja harmonicznej podstawowej
$F_1sin{(}\omega\ t+\psi_1)$	- podstawowa harmoniczna przebiegu
$F_ksin{(}k\omega\ t+\psi_k)$	- k-ta harmoniczna przebiegu (k = 1, 2, 3, ...)

Należy podkreślić, że okres harmonicznej podstawowej jest identyczny z okresem przebiegu niesinusoidalnego f(t). Częstotliwości kolejnych harmonicznych są wielokrotnością częstotliwości harmonicznej podstawowej, czyli $\omega_k=k\omega$ . Współczynniki rozwinięcia trygonometrycznego Fouriera wyznacza się z następujących wzorów

$A_0=\frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{T+t_0}{f(t)dt}$

(2.5)

$A_k=\frac{2}{T}\int\limits_{t_0}^{T+t_0}{f(t)cos{(}k\omega t)dt}$

(2.6)

$B_k=\frac{2}{T}\int\limits_{t_0}^{T+t_0}{f(t)sin{(}k\omega t)}dt$

(2.7)

Chwila czasowa t₀ może być wybrana dowolnie a jej wybór nie ma wpływu na wynik transformacji. Obie postacie szeregu Fouriera (2.3) i (2.4) są sobie równoważne, jeśli spełnione są następujące warunki

$F_k=\sqrt{A_k^2+B_k^2}$

(2.8)

$\psi_k=\mathrm{arctg}\frac{A_k}{B_k}$

(2.9)

W ogólności szereg Fouriera zawiera nieskończenie wiele harmonicznych. W praktyce większość harmonicznych maleje do zera przy zwiększającym się rzędzie tych harmonicznych. Stąd w obliczeniach uwzględnia się jedynie niewielką liczbę tych harmonicznych uzyskując zadowalające przybliżenie. Metodę rozkładu przebiegu niesinusoidalnego na szereg Fouriera zilustrujemy na przykładzie przebiegu prostokątnego.

Wyznaczyć rozwinięcie Fouriera dla przebiegu prostokątnego okresowego o okresie T przedstawionego na rys. 2.1

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.1. Przebieg prostokątny okresowy

Rozwiązanie

Dla przebiegu podanego na rys. 2.1 pulsacja $\omega=2\pi/T$ . Poszczególne współczynniki rozwinięcia trygonometrycznego Fouriera opisane są wzorami

$A_0=\frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}{f(t)dt}=\frac{1}{T}\int\limits_{-T_1}^{T_1}Adt=2A\frac{T_1}{T}$

$A_k=\frac{2}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}{f(t)cos{(}k\omega t)dt}=\frac{2}{T}\int\limits_{-T_1}^{T_1}{Acos{(}k\omega t)dt}=\frac{2A}{\pi\cdot k}sin{(}2\pi\cdot\ k\frac{T_1}{T})$

$B_k=\frac{2}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}{f(t)sin{(}k\omega t)dt}=\frac{2}{T}\int\limits_{-T_1}^{T_1}{Asin{(}k\omega t)dt}=0$

Z uzyskanych wzorów na współczynniki Fouriera wynika, że zadany przebieg czasowy prostokątny opisać można w postaci nieskończonej sumy harmonicznych o postaci

$f(t)=2A\frac{T_1}{T}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left[\frac{2A}{\pi\cdot k}sin{(}2k\pi\frac{T_1}{T})\right]cos{(}k\omega t)}$

Wyrażenie o postaci sinusoidalnej stojące przy cos(kωt) oznacza amplitudę k-tej harmonicznej. Jak widać wartość tej amplitudy maleje wraz ze wzrostem k. W ogólnym przypadku przy dowolnej wartości T₁ rozwinięcie w szereg Fouriera zawierać może wszystkie harmoniczne, przy czym amplitudy tych harmonicznych są modulowane funkcją sinusoidalną.

Szczególnie prostą formę przyjmuje rozwinięcie w szereg Fouriera przy wypełnieniu impulsów prostokątnych w stosunku 1:1. Wtedy T₁=T/4 a rozwinięcie f(t) upraszcza się do postaci

$f(t)=\frac{A}{2}+\frac{2A}{\pi}cos{(}\omega\ t)-\frac{2A}{3\pi}cos{(}3\omega\ t)+\frac{2A}{5\pi}cos{(}5\omega\ t)-\frac{2A}{7\pi}cos{(}7\omega\ t)+...$

lub

$f(t)=\frac{A}{2}+\frac{2A}{\pi}sin{(}\omega\ t+90^o)+\frac{2A}{3\pi}sin{(}3\omega\ t+270^o)+\frac{2A}{5\pi}sin{(}5\omega\ t+90^o)+\frac{2A}{7\pi}sin{(}7\omega\ t+270^o)+...$

W tym przypadku szereg Fouriera zawiera jedynie harmoniczne nieparzyste a amplituda k-tej harmonicznej jest k-krotnie mniejsza niż harmonicznej podstawowej. Kolejne składniki rozwinięcia różnią się znakiem (znak minus odpowiada wprowadzeniu przesunięcia fazowego o kąt 180^o). Rys. 2.2 przedstawia wykres amplitudy i fazy poszczególnych składowych rozkładu Fouriera (w przypadku charakterystyki fazowej jako podstawę przyjęto rozwinięcie do postaci sinusoidalnej.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.2. Wykres amplitudy (a) i fazy (b) składowych rozkładu sinusoidalnego Fouriera (zmienic fazy).

Rozkład przebiegu niesinusidalnego na składowe harmoniczne oznacza jego aproksymację poprzez nieskończoną sumę składników. Każde ograniczenie tej sumy do liczby skończonej wprowadza pewien błąd aproksymacji, a więc przybliżenie przebiegu rzeczywistego przez funkcje aproksymujące. Na rys. 2.3 przedstawiono efekty przybliżania przebiegu prostokątnego przez ograniczoną sumę harmonicznych przy coraz większej ich liczbie uwzględnianej w aproksymacji (N=2, N=3, N=4, uwzględniając składową zerową).

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.3. Przybliżenie impulsu prostokątnego przez skończoną sumę harmonicznych

Jak widać pomimo uwzględnienia w rozwinięciu jedynie 4 harmonicznych przybliżenie jest dość dokładne i odzwierciedla podstawowe cechy kształtu impulsu. Zwiększenie liczby harmonicznych w sumowaniu zwiększa dokładność odwzorowania impulsu prostokątnego.

Załączony program „Rozkład Fouriera sygnału prostokątnego” pozwala określić zawartość harmonicznych w sygnale prostokątnym o różnym stopniu wypełnienia. Użytkownik może zmieniać wartości zarówno amplitudy sygnału, jego okresu T jak i stopnia wypełnienia (wartość podokresu T₁). Przy wypełnieniu 1:1 (T₁=0.5T) otrzymuje się rozkład na harmoniczne wyłącznie nieparzyste, jak to przedstawiono na rys. 2.2. Przy innym wypełnieniu występują również harmoniczne parzyste, a skład harmonicznych zależy w dużej mierze od stosunku T₁/T. Użytkownik decyduje o liczbie wyświetlanych harmonicznych, ustalając wartość parametru „liczba harmonicznych”. Odpowiednio do wybranej liczby tworzony jest wykres odtworzonego sygnału prostokątnego. Im większa liczba harmonicznych tym bardziej zrekonstruowany sygnał przypomina oryginał.