Podręcznik: Postać wykładnicza szeregu Fouriera

2. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniu niesinusoidalnym

2.3. Postać wykładnicza szeregu Fouriera

W wielu zastosowaniach postać trygonometryczna (2.3) szeregu Fouriera nie jest wystarczająca i dlatego wprowadza się komplementarną postać wykładniczą, wykorzystującą przedstawienie funkcji trygonometrycznych poprzez funkcje wykładnicze. Korzysta się przy tym z definicji funkcji sinusoidalnej i kosinusoidalnej, zgodnie z którymi

$sin{(}\omega\ t)=\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}$

(2.10)

$cos{(}\omega\ t)=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}$

(2.11)

Po zastosowaniu elementarnych przekształceń wzoru (2.4) otrzymuje się

$f(t)=A_0+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{A_k-jB_k}{2}\right)e^{-jk\omega t}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{A_k+jB_k}{2}\right)e^{jk\omega t}}$

(2.12)

Wprowadźmy oznaczenia

$X_k=\frac{A_k+jB_k}{2}$

(2.13)

oraz

$X_{-k}=\frac{A_{-k}-jB_{-k}}{2}$

(2.14)

Ze względu na parzystość funkcji kosinusoidalnej i nieparzystość funkcji sinusoidalnej słuszne są następujące równości

$A_k=A_{-k}$

(2.15)

$B_k=-B_{-k}$

(2.16)

Oznacza to, że

$X_k=\frac{A_k+jB_k}{2}=X_{-k}^*$

(2.17)

gdzie znak * oznacza sprzężenie liczby zespolonej. Uwzględnienie tej zależności we wzorze (2.12) prowadzi do wyniku

$f( t) =A_{0} +\sum\limits ^{\infty }_{\begin{matrix} k=-\infty \\ k\neq 0 \end{matrix}} X_{k} e^{jk\omega t}$

(2.18)

Jest to tak zwana postać wykładnicza szeregu Fouriera, w której wartości współczynników rozwinięcia X_k są zespolone w odróżnieniu od rzeczywistych wartości współczynników szeregu trygonometrycznego. Współczynniki te mogą być otrzymane z rozwinięcia trygonometrycznego bądź bezpośrednio z relacji

$X_k=\frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T}{f(t)e^{-jk\omega t}dt}$

(2.19)

Wykres $\left|X_k\right|$ określony dla dyskretnych wartości k reprezentujących sobą dyskretne częstotliwości nazywany jest widmem amplitudowym funkcji $f(t)$ . Ze względu na to, że współczynniki rozwinięcia wykładniczego spełniają warunek $\left|X_k\right|=\left|X_{-k}\right|$ , widmo amplitudowe jest symetryczne względem osi rzędnych (wartości widma amplitudowego dla dodatnich i ujemnych częstotliwości są identyczne). Z kolei wykres $arg{X_{-k}}=-arg{X_k}$ , czyli widmo fazowe jest symetryczne względem początku układu współrzędnych (wartości kąta fazowego dla częstotliwości ujemnych są przeciwne względem tych samych wartości dla częstotliwości dodatnich).

Rozwinięcie funkcji $f(t)$ w postać wykładniczą oznacza rozkład energii sygnału w zakresie częstotliwości dodatniej i ujemnej. Jeśli rzeczywista wartość amplitudy k-tej harmonicznej wynosi $F_k$ , to k-ty prążek widma amplitudowego szeregu wykładniczego Fouriera przyjmie wartość $\frac{F_k}{2}$ dla częstotliwości dodatniej i identyczną wartość dla częstotliwości ujemnej.

Wyznaczyć postać wykładniczą szeregu Fouriera, jeśli

$f(t)=5+10cos{(}\omega\ t)+5sin{(}\omega\ t)+7cos{(}3\omega\ t)+12sin{(}5\omega\ t)$

Rozwiązanie

Dla uzyskania postaci wykładniczej szeregu Fouriera skorzystamy z zależności definicyjnych funkcji sinusoidalnej i kosinusoidalnej: $sin{(}\omega\ t)=\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}$ , $cos{(}\omega\ t)=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}$ . Po wstawieniu tych zależności do szeregu Fouriera otrzymujemy

$f(t)=5+10\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}+5\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}+7\frac{e^{j3\omega t}+e^{-j3\omega t}}{2}+12\frac{e^{j5\omega t}-e^{-j5\omega t}}{2j}$

Uwzględniając, że $j=e^{j\pi/2}$ i grupując odpowiednie składniki otrzymujemy

$f(t)=6e^{j\pi/2}e^{-j5\omega t}+3,5e^{-j3\omega t}+(5+2,5j)e^{-j\omega t}+5+(5-2,5j)e^{j\omega t}+3,5e^{j3\omega t}+6e^{-j\pi/2}e^{j5\omega t}$

Po sprowadzeniu liczb zespolonych do postaci wykładniczej otrzymuje się następującą postać wykładniczą szeregu Fouriera

$f(t)=6e^{j90^o}e^{-j5\omega t}+3,5e^{-j3\omega t}+5,6e^{j26,5^o}e^{-j\omega t}+5+5,6e^{-j26,5^o}e^{j\omega t}+3,5e^{j3\omega t}+6e^{-j90^o}e^{j5\omega t}$

Charakterystyka amplitudowa szeregu wykładniczego Fouriera opisującego funkcję f(t) przedstawiona jest na rys. 2.4a, natomiast charakterystyka fazowa na rys. 2.4b.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.4 Charakterystyka amplitudowa (a) i fazowa (b) szeregu wykładniczego Fouriera opisującego funkcję f(t) z przykładu

Częstotliwość zmienia się w zakresie od $-\infty$ do $\infty$ . Prążki amplitudowe i fazowe zostały rozłożone w sposób symetryczny w obu zakresach, przy czym charakterystyka amplitudowa jest funkcją parzystą a charakterystyka fazowa - nieparzystą. Energia sygnału ściśle związana z amplitudą została zatem rozdzielona na dwie równe części. Rzeczywista amplituda k-tej harmonicznej jest równa podwojonej wartości amplitudy k-tego prążka z zakresu dodatniego lub ujemnego.