Podręcznik: Twierdzenie Parsevala

2. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniu niesinusoidalnym

2.4. Twierdzenie Parsevala

Rozpatrzmy dwie funkcje f(t) i g(t) o tym samym okresie T spełniające warunki Dirichleta. Przedstawmy je w postaci wykładniczej Fouriera

$f(t)=\sum\limits ^{\infty }_{k=-\infty } f_{k} e^{jk\omega t}$	(2.20)
$g(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}g_ke^{jk\omega t}$	(2.21)

w której pulsacja podstawowa $\omega$ jest określona poprzez okres funkcji $\omega=\frac{2\pi}{T}$ . Przy takich założeniach twierdzenie Parsevala można sformułować następująco.

Twierdzenie Parsevala

Jeśli funkcje f(t) i g(t) są okresowe o tym samym okresie T i obie spełniają warunki Dirichleta, to wartość średnia z iloczynu tych funkcji za okres określona jest zależnością

$\overline{f(t)g(t)}=\frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T}{f(t)g(t)dt=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{f_kg_k^*}=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{g_kf_k^*}}$

(2.22)

w której f_k i g_k są współczynnikami rozwinięcia wykładniczego funkcji zadanych f(t) i g(t) a znak * oznacza operację sprzężenia liczby zespolonej.

Twierdzenie Parsevala określa wartość średnią za okres iloczynu dwu funkcji okresowych f(t) i g(t) o tym samym okresie. Z twierdzenia wynika, że wartość średnią tworzą jedynie iloczyny składników rozkładu wykładniczego o tym samym rzędzie (częstotliwości). Składniki sumy pochodzące od iloczynów składowych różnego rzędu są równe zeru. W szczególnym przypadku gdy f(t)=g(t) wzór Parsevala upraszcza się do postaci

$\frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T}{f^2(t)dt={\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\left|f_k\right|}^2}$

(2.23)

gdyż mnożenie liczby zespolonej przez sprzężoną oznacza kwadrat modułu liczby zespolonej, $f_kf_k^\ast=\left|f_k\right|^2$ . Ostatni wzór wiąże się bezpośrednio z obliczeniem wartości skutecznej przebiegu niesinusidalnego, rozwiniętego w szereg Fouriera.