2. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniu niesinusoidalnym

2.5. Wartość skuteczna napięcia i prądu niesinusoidalnego

W przypadku analizy obwodów o przebiegach niesinusoidalnych okresowych sygnał prądu i napięcia w obwodzie przedstawiany jest zwykle w postaci szeregu trygonometrycznego Fouriera

\(u(t)=U_0+\sum_{k}\ U_{km}sin{(}k\omega t+\psi_k)\) (2.24)
\(i(t)=I_0+\sum_{k}\ I_{km}sin{(}k\omega\ t+\psi_k-\phi_k)\) (2.25)

w których Ukm oraz Ikm są amplitudami k-tej harmonicznej odpowiednio napięcia u(t) i prądu i(t). Ψk jest fazą początkową k-tej harmonicznej napięcia a ϕk kątem przesunięcia fazowego k-tej harmonicznej prądu względem k-tej harmonicznej napięcia.

Korzystając z twierdzenia Parsevala (wzór 2.23) można łatwo udowodnić, że wartość skuteczna przebiegu składającego się z sumy wielu harmonicznych może być obliczona na podstawie wartości skutecznych każdej harmonicznej z osobna. Biorąc pod uwagę zależność (2.23) i uwzględniając relację między wartością maksymalną i skuteczną można pokazać, że wartość skuteczna przebiegu niesinusoidalnego jest pierwiastkiem z sumy kwadratów wartości skutecznych poszczególnych harmonicznych. W przypadku napięcia i prądu opisanych zależnościami (2.24) i (2.25) wzory na moduł wartości skutecznej przyjmują wtedy postać

\(\left|U\right|=\sqrt{\sum_{k}\left|U_k\right|^2}=\sqrt{{\left|U_0\right|^2}_+\left|U_1\right|^2+\left|U_2\right|^2+...}\) (2.26)
\(\left|I\right|=\sqrt{\sum_{k}\left|I_k\right|^2}=\sqrt{{\left|I_0\right|^2}_+\left|I_1\right|^2+\left|I_2\right|^2+...}\) (2.27)

w której Uk oraz Ik oznaczają wartości skuteczne zespolone odpowiednio napięcia i prądu k-tej harmonicznej. Wartość skuteczna (moduł) napięcia i prądu niesinusoidalnego jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów modułów wartości skutecznych zespolonych wszystkich harmonicznych oraz składowej stałej.

W przypadku wystąpienia w przebiegu wielu harmonicznych ważnym wskaźnikiem odkształcenia tego przebiegu od sinusoidy jest współczynnik zawartości harmonicznych h. Współczynnik ten definiuje się jako stosunek wartości skutecznej przebiegu f(t) po usunięciu z niego składowej stałej i pierwszej harmonicznej do wartości skutecznej przebiegu po usunięciu z niego jedynie składowej stałej. Przy oznaczeniu wartości skutecznych odpowiednich harmonicznych przez Fk wzór na współczynnik zawartości harmonicznych można zapisać w postaci

\(h=\sqrt{\frac{\left|F_2\right|^2+\left|F_3\right|^2+\left|F_4\right|^2+...}{\left|F_1\right|^2+\left|F_2\right|^2+\left|F_3\right|^2+...}}\) (2.28)

Jeśli badany przebieg zawiera jedynie składową podstawową (pierwszą) to jak łatwo zauważyć współczynnik zawartości harmonicznych jest równy zeru, co oznacza brak odkształcenia krzywej od postaci sinusoidalnej.

Innym wskaźnikiem najczęściej używanym w praktyce jest całkowite zniekształcenie harmoniczne (THD – Total Harmonic Distortion) definiowane wzorem

\(THD=\frac{\sqrt{\sum\limits _{k\neq 1}| U_{k}| ^{2}}}{| U_{1}| }\)

odnoszące zniekształcenie (pierwiastek z sumy kwadratów modułów wartości skutecznych wszystkich harmonicznych wyższych niż podstawowa) do wartości harmonicznej podstawowej.