Podręcznik

Niezależność statystyczna sygnałów losowych jest pojęciem ogólniejszym niż dekorelacja. Pojęcie korelacji dotyczy jedynie pojęcia liniowej zależności występującej między sygnałami, natomiast niezależność statystyczna dowolnej zależności, w tym nieliniowej, istniejącej między sygnałami. W ogólnym przypadku dwie zmienne losowe $y_i$ oraz $y_j$ są statystycznie niezależne, jeśli informacja o jednej zmiennej nie wnosi żadnej wiedzy o zachowaniu drugiej zmiennej. Z matematycznego punktu widzenia niezależność statystyczna oznacza, że dwuwymiarowa łączna gęstość prawdopodobieństwa $p\left(y_i, y_j\right)$ jest równa iloczynowi jednowymiarowych funkcji gęstości zmiennej $y_i$ oraz $y_j$

Dla sygnałów statystycznie niezależnych uogólniona macierz kowariancji funkcji $f(y_i)$ oraz $f(y_j)$ (obie funkcje muszą być nieparzyste) tworzy nieosobliwą macierz diagonalną, mającą postać

W równaniu tym symbol E oznacza wartość oczekiwaną. Z warunku niezależności statystycznej wynika, że wszystkie uogólnione kowariancje wzajemne są zerowe, a zatem $\mathrm{E}\left[\mathbf{f}(\mathbf{y}) \mathbf{g}^T(\mathbf{y})\right]-\mathrm{E}[\mathbf{f}(\mathbf{y})] \cdot \mathrm{E}\left[\mathbf{g}^T(\mathbf{y})\right]=0$, natomiast kowariancje własne są niezerowe  $\mathrm{E}\left[\mathbf{f}(\mathbf{y}) \mathbf{g}^T(\mathbf{y})\right]-\mathrm{E}[\mathbf{f}(\mathbf{y})] \cdot \mathrm{E}\left[\mathbf{g}^T(\mathbf{y})\right] \neq 0$. Warunek statystycznej niezależności sygnałów jest utożsamiony z zerowaniem się kumulantów wzajemnych wyższego rzędu [8].