3. Ślepa separacja sygnałów

3.3. Struktura rekurencyjna sieci separującej

W rozwiązaniu problemu separacji sygnałów statystycznie niezależnych J. Herault i C. Jutten zaproponowali sieć neuronową liniową ze sprzężeniem zwrotnym, przedstawioną na rys. 9.2.

Rys. 9.2 Struktura sieci rekurencyjnej do ślepej separacji sygnałów

Sieć zawiera \( n\) liniowych neuronów, powiązanych ze sobą przez wzajemne sprzężenia zwrotne. Wagi synaptyczne \( w_{ij} \) w rozwiązaniu oryginalnym Heraulta i Juttena są różne od zera tylko przy sprzężeniach wzajemnych (zasada ta została odrzucona przez prof. Cichockiego pozwalając na lepsze działanie systemu). Każdy neuron w sieci generuje sygnał wyjściowy


\(y_i(t)=x_i(t)-\sum_{j=1}^n w_{i j} y_j(t)\) (9.4)


Przy oznaczeniu przez \( \mathbf{A} \) macierzy mieszającej, przez \( \mathbf{W} \) macierzy wagowej (obie kwadratowe o tych samych wymiarach)


\(\mathbf{W}=\left[\begin{array}{llll}w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1 n} \\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ w_{n 1} & w_{n 2} & \cdots & w_{n n}\end{array}\right]\) (9.5)


a przez \( \mathbf{x}(t) \), \( \mathbf{s}(t) \) oraz \( \mathbf{y}(t) \)  wektorów odpowiednio obserwowanych sygnałów \( x_i(t) \) przetworzonych według zależności (9.1), wektora sygnałów źródłowych \( s_i(t) \) oraz wektora sygnałów wyjściowych \( y_i(t) \) sieci, gdzie


\(\mathbf{x}(t)=\left[\begin{array}{c}x_1(t) \\ x_2(t) \\ \cdots \\ x_n(t)\end{array}\right]\), \(\mathbf{s}(t)=\left[\begin{array}{c}s_1(t) \\ s_2(t) \\ \cdots \\ s_n(t)\end{array}\right]\), \(\mathbf{y}(t)=\left[\begin{array}{c}y_1(t) \\ y_2(t) \\ \ldots \\ y_n(t)\end{array}\right]\) (9.6)

działanie sieci z rys. 9.2 można opisać równaniem macierzowym


\(\mathbf{y}(t)=\mathbf{x}(t)-\mathbf{W y}(t)\) (9.7)


Przy nieznanej macierzy mieszającej \(\mathbf{A} \) i wektorze \( \mathbf{s}(t) \) oraz założeniu statystycznej niezależności składników wektora \( \mathbf{s}(t) \), zadanie sieci sprowadza się do takiego określenia wektora rozwiązania \( \mathbf{y}(t) \), które umożliwi odtworzenie sygnałów pierwotnych \( s_i(t) \) tworzących wektor \( \mathbf{s}(t) \). Z równania (9.7) wynika, że rozwiązanie takie musi spełniać warunek


\( \mathbf{y}(t)=(\mathbf{1}+\mathbf{W})^{-1} \mathbf{x}(t) \) (9.8)


Wektor \( \mathbf{y}(t) \) będzie odtwarzał wektor poszukiwanych sygnałów źródłowych \( \mathbf{s}(t) \). Odtworzenie to jest możliwe z dokładnością do pewnej, bliżej nieokreślonej skali \( d_i \), czyli \( \mathbf{y}(t) = \mathbf{Ds}(t)\) gdzie \( \mathbf{D} \) jest macierzą diagonalną, \(\mathbf{D}=\operatorname{diag}\left\{d_1, d_2, \ldots, d_n\right\}\), przy praktycznie dowolnej kolejności występowania poszczególnych składników \( \mathbf{y}(t) \) w wektorze \( \mathbf{y}(t) \) (przy nieznanej postaci składników wektora sygnałów źródłowych nie ma to praktycznie żadnego znaczenia). Stąd podstawowym celem jest rekonstrukcja „kształtu” sygnałów źródłowych. Innymi słowy, poszukiwanym systemem separującym jest taka macierz \( \mathbf{W} \), że zachodzi relacja


\(\mathbf{y}(t)=\mathbf{W A s}(t)=\mathbf{P D s}(t)\) (9.9)

Można przyjąć, że macierz estymowana \(\hat{\mathbf{A}}=\mathbf{W}^{+}\) jest w rzeczywistości określona jako \(\hat{\mathbf{A}}=\mathbf{A P D}\) oraz \(\mathbf{W A} \hat{\mathbf{A}}=\mathbf{W} \mathbf{W}^{+}=\mathbf{1}_n\), gdzie \( \mathbf{P} \) jest macierzą permutacji odpowiedzialnej za przestawienie kolejności składników wynikowych \( y_i \), \( \mathbf{D} \) – macierz diagonalna skalująca wartości sygnałów wynikowych, \( \mathbf{W}^{+} \) jest macierzą pseudo-odwrotną do macierzy \( \mathbf{W} \).

Rozwiązanie określające wektor \(\mathbf{y}(t) \) spełniający warunek (9.8) jest możliwe do osiągnięcia przy dowolnej liczbie \(n\) sygnałów. Przy większej niż dwa liczbie źródeł i nieznanych z góry wartościach współczynników \( a_{ij} \) macierzy mieszającej można osiągnąć separację sygnałów, stosując jedynie metody algorytmiczne adaptacyjnego doboru wag sieci neuronowej.