Podręcznik: Pomiar mocy czynnej w układzie trójprzewodowym

3. Układy trójfazowe

3.12. Pomiar mocy czynnej w układzie trójprzewodowym

W przypadku odbiornika niesymetrycznego o trzech przewodach zasilających pomiar całkowitej mocy układu może być dokonany przy pomocy dwu watomierzy. Dla pokazania takiej możliwości przepiszemy wzór na moc chwilową układu

$p(t)=u_Ai_A+u_Bi_B+u_Ci_C$

(3.45)

W układzie trójprzewodowym suma prądów przewodowych jest równa zeru, co znaczy, że

$i_A+i_B+i_C=0$

(3.46)

Eliminując prąd fazy C $i_C$ z zależności na moc chwilową, uzyskuje się

$p(t)=(u_A-u_C)i_A+(u_B-u_C)i_B$

(3.47)

Moc czynna jako wartość średnia za okres z mocy chwilowej dla przebiegów sinusoidalnych może więc być wyrażona w postaci

$P=\left|U_A-U_C\right|\left|I_A\right|cos{\varphi_1}+\left|U_B-U_C\right|\left|I_B\right|cos{\varphi_2}$

(3.48)

W wyrażeniu tym prądy i napięcia dotyczą modułów wartości skutecznych zespolonych odpowiednich faz natomiast kąty $\varphi_1$ i $\varphi_2$ oznaczają przesunięcia fazowe między odpowiednio napięciem U_AC i prądem I_A oraz między napięciem U_BC i prądem I_B. Powyższa zależność umożliwia podanie schematu elektrycznego połączeń elementów pomiarowych obwodu. Schemat pomiaru mocy przy pomocy dwu watomierzy nosi nazwę układu Arona i podany jest na rys. 3.20.

rys8_26

Rys. 3.20. Układ Arona do pomiaru mocy za pomocą dwu watomierzy

Cewki prądowe watomierzy włączone są w dwie linie odbiornika trójfazowego, natomiast cewki napięciowe włączone są między daną fazę i fazę trzecią, w której nie ma włączonego watomierza.

Powyższy schemat pomiarowy jest słuszny zarówno dla układu niesymetrycznego jak i symetrycznego. W przypadku układu symetrycznego zastosowanie go do pomiaru mocy czynnej umożliwia uzyskanie także innych informacji o obwodzie trójfazowym, w szczególności mocy biernej oraz kąta przesunięcia fazowego.

Zauważmy, że w przypadku pełnej symetrii moduły i kąty przesunięcia fazowego prądów względem odpowiednich napięć fazowych w poszczególnych fazach są równe

(3.49)

$\varphi_A=\varphi_B=\varphi_C=\varphi$

(3.50)

Przy założeniu odbiornika gwiazdowego wykres wektorowy prądów i napięć obwodu przedstawiony jest na rys. 3.21.

rys8_27

Rys. 3.21. Wykres wektorowy prądów i napięć symetrycznego układu trójfazowego

Z analizy zależności kątowych na tym rysunku wynika, że

$\varphi_1=\varphi-30^o$	(3.51)
$\varphi_2=\varphi+30^o$	(3.52)

Stąd wzór na moc wskazywaną przez oba watomierze upraszcza się do postaci

$P_1=\left|U_A-U_C\right|\left|I\right|cos{(}\varphi-30^o)=\sqrt3\left|U_f\right|\left|I\right|cos{(}\varphi-30^o)=$

$=\sqrt3\left|U_f\right|\left|I\right|\left(cos{\varphi}cos{3}0^o+sin{\varphi}sin{3}0^o\right)$

(3.53)

$P_2=\left|U_B-U_C\right|\left|I\right|cos{(}\varphi+30^o)=\sqrt3\left|U_f\right|\left|I\right|cos{(}\varphi+30^o)=$

$=\sqrt3\left|U_f\right|\left|I\right|\left(cos{\varphi}cos{3}0^o-sin{\varphi}sin{3}0^o\right)$

(3.54)

Suma obu wskazań watomierzy jest więc równa

$P=P_1+P_2=2\sqrt3\left|U_f\right|\left|I\right|cos{\varphi}cos{3}0^o=3\left|U_f\right|\left|I\right|cos{\varphi}$

(3.55)

Jak widać suma wskazań obu watomierzy jest potrojoną wartością mocy jednej fazy, co wobec symetrii odbiornika jest potwierdzeniem poprawności działania układu Arona.

Odejmując od siebie wskazania obu przyrządów udowodnimy, że różnica wskazań jest proporcjonalna do mocy biernej układu. Mianowicie

$P_1-P_2=2\sqrt3\left|U_f\right|\left|I\right|sin{\varphi}sin{3}0^o=\sqrt3\left|U_f\right|\left|I\right|sin{\varphi}$

(3.56)

Biorąc pod uwagę, że moc bierna jednej fazy jest równa $Q_f=\left|U_f\right|\left|I\right|sin{\varphi}$ z ostatniej zależności wynika następujący wzór

$Q_f=\frac{P_1-P_2}{\sqrt3}$

(3.57)

a moc bierna całkowita układu trójfazowego symetrycznego jest równa

$Q=\sqrt3(P_1-P)$

(3.58)

Tak więc zastosowanie dwu watomierzy zamiast jednego, w przypadku symetrii odbiornika, ma tę zaletę, że dostarcza informacji jednocześnie o mocy czynnej i mocy biernej układu. Dodatkowo, jeśli uwzględnimy, że kąt przesunięcia fazowego jest w pełni określony przez moc czynną i bierną według wzoru

$tg{\phi}=\frac{Q}{P}$

(3.59)

na podstawie wskazań watomierzy można bezpośrednio określić kąt przesunięcia fazowego między prądami i napięciami fazowymi w układzie

$\varphi=arctg{\sqrt3}\frac{P_1-P_2}{P_1+P_2}$

(3.60)

Stąd na podstawie pomiaru mocy dwoma watomierzami jest możliwe określenie trzech wielkości jednocześnie: mocy czynnej, mocy biernej oraz kąta przesunięcia fazowego między prądami i napięciami w obwodzie.