4. Składowe symetryczne w układach trójfazowych

4.7. Filtr składowej zgodnej i przeciwnej prądów liniowych

Spośród wielu istniejących rozwiązań filtru składowych zgodnych i przeciwnych prądu omówimy układ uniwersalny, który w zależności od doboru parametrów może pełnić rolę bądź filtru składowej zgodnej bądź przeciwnej. Schemat układu filtru przedstawiony jest na rys. 4.6.

rys9_6

Rys. 4.6 Schemat filtru składowej zgodnej i przeciwnej prądów liniowych

 

W filtrze zastosowane są również przekładniki prądowe. Załóżmy, że uwzględniamy impedancję Zp amperomierza pomiarowego. Dodatkowym założeniem jest zasilanie trójprzewodowe odbiornika trójfazowego, dla którego słuszna jest relacja \(I_A+I_B+I_C=0\). Na podstawie prawa napięciowego Kirchhoffa dla oczka zaznaczonego na rysunku możemy napisać

\(Z_AI_{ZA}+Z_CI_{ZC}+Z_pI_p=0\) (4.17)

Prądy IZA oraz IZC można wyznaczyć z prądowego prawa Kirchhoffa jako

\(I_{ZA}=kI_A+I_p\) (4.18)
\(I_{ZC}=kI_C+I_p\) (4.19)

Podstawiając powyższe zależności do napięciowego prawa Kirchhoffa otrzymuje się

\(I_p=-k\frac{Z_AI_A+Z_CI_C}{Z_A+Z_C+Z_p}\) (4.20)

Prądy przewodowe podlegające rozkładowi na składowe symetryczne, wobec zerowania się składowej zerowej, można zapisać w postaci

\(I_A=I_1+I_2\) (4.21)
\(I_C=aI_1+a^2I_2\) (4.22)

Po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru na prąd Ip otrzymuje się

\(I_p=-k\frac{I_1\left(Z_A+aZ_C\right)+I_2\left(Z_A+a^2Z_C\right)}{Z_A+Z_C+Z_p}\) (4.23)

Wzór powyższy wskazuje na to, że prąd pomiarowy przy odpowiednim doborze impedancji może być proporcjonalny zarówno do składowej zgodnej jak i przeciwnej. Jeśli chcemy mierzyć składową zgodną prądów, należy wyzerować czynnik stojący przy prądzie składowej przeciwnej, to jest

\(Z_A+a^2Z_C=0\) (4.24)

Wystarczy w tym celu dobrać impedancje w taki sposób, aby

\(Z_A=-a^2Z_C=\left(0,5+j\frac{\sqrt3}{2}\right)Z_C\) (4.25)

Istnieje wiele rozwiązań tego równania. Wystarczy przyjąć na przykład

\(Z_C=R\) (4.26)
\(Z_A=\frac{R}{2}+j\sqrt3\frac{R}{2}\) (4.27)

Oznacza to, że przy wyborze impedancji ZA i ZC określonych powyższymi wzorami (impedancja ZC jest rezystancją a impedancja ZA połączeniem szeregowym rezystancji R/2 i indukcyjności o reaktancji \(X_L=\sqrt3\frac{R}{2}\)) amperomierz wskaże prąd proporcjonalny do składowej zgodnej prądów liniowych, przy czym

\(I_p=-\frac{\frac{R}{2}+j\sqrt3\frac{R}{2}-\frac{R}{2}+j\sqrt3\frac{R}{2}}{\frac{R}{2}+j\sqrt3\frac{R}{2}+R+Z_p}kI_1\) (4.28)

Po uproszczeniu wzoru otrzymuje się

\(I_p=-\frac{j\sqrt3R}{R\sqrt3e^{j\pi/6}+Z_p}kI_1\) (4.29)

Jeśli zaniedbamy impedancję wewnętrzną amperomierza pomiarowego otrzymamy

\(I_p=kI_1e^{j\pi/3}\) (4.30)

Wskazanie amperomierza występującego w filtrze (moduł mierzonego prądu) jest więc równe modułowi składowej zgodnej prądów liniowych układu, z uwzględnieniem przekładni k przekładnika prądowego.

W analogiczny sposób można otrzymać filtr składowej przeciwnej prądów. W tym celu należy wyzerować czynnik przy składowej zgodnej prądów we wzorze (4.23), czyli

\(Z_A+aZ_C=0\) (4.31)

Warunek ten może być spełniony przy wyborze

\(Z_C=R\) (4.32)
\(Z_A=-aZ_C=\frac{R}{2}-j\sqrt3\frac{R}{2}\) (4.33)

Oznacza to, że dla uzyskania filtru składowej przeciwnej należy wybrać impedancję ZC równą rezystancji R natomiast ZA będącą połączeniem szeregowym rezystancji R/2 oraz reaktancji pojemnościowej \(X_C=\sqrt3\frac{R}{2}\). Prąd mierzony przez amperomierz będzie teraz równy

\(I_p=-\frac{\frac{R}{2}-j\sqrt3\frac{R}{2}-\frac{R}{2}-j\sqrt3\frac{R}{2}}{\frac{R}{2}-j\sqrt3\frac{R}{2}+R+Z_p}kI_2\) (4.34)

Po uproszczeniu wzoru otrzymuje się

\(I_p=-\frac{-j\sqrt3R}{R\sqrt3e^{-j\pi/6}+Z_p}kI_2\) (4.35)

Jeśli zaniedbamy impedancję wewnętrzną amperomierza pomiarowego otrzymamy

\(I_p=kI_2e^{-j\pi/3}\) (4.36)

Wskazanie amperomierza filtru (moduł wartości skutecznej zespolonej) jest więc równe modułowi składowej przeciwnej prądów liniowych układu, z uwzględnieniem przekładni k przekładnika prądowego.