Podręcznik: Filtr składowej zgodnej i przeciwnej prądów liniowych

4. Składowe symetryczne w układach trójfazowych

4.7. Filtr składowej zgodnej i przeciwnej prądów liniowych

Spośród wielu istniejących rozwiązań filtru składowych zgodnych i przeciwnych prądu omówimy układ uniwersalny, który w zależności od doboru parametrów może pełnić rolę bądź filtru składowej zgodnej bądź przeciwnej. Schemat układu filtru przedstawiony jest na rys. 4.6.

rys9_6

Rys. 4.6 Schemat filtru składowej zgodnej i przeciwnej prądów liniowych

W filtrze zastosowane są również przekładniki prądowe. Załóżmy, że uwzględniamy impedancję Z_p amperomierza pomiarowego. Dodatkowym założeniem jest zasilanie trójprzewodowe odbiornika trójfazowego, dla którego słuszna jest relacja $I_A+I_B+I_C=0$ . Na podstawie prawa napięciowego Kirchhoffa dla oczka zaznaczonego na rysunku możemy napisać

$Z_AI_{ZA}+Z_CI_{ZC}+Z_pI_p=0$

(4.17)

Prądy I_ZA oraz I_ZC można wyznaczyć z prądowego prawa Kirchhoffa jako

$I_{ZA}=kI_A+I_p$

(4.18)

$I_{ZC}=kI_C+I_p$

(4.19)

Podstawiając powyższe zależności do napięciowego prawa Kirchhoffa otrzymuje się

$I_p=-k\frac{Z_AI_A+Z_CI_C}{Z_A+Z_C+Z_p}$

(4.20)

Prądy przewodowe podlegające rozkładowi na składowe symetryczne, wobec zerowania się składowej zerowej, można zapisać w postaci

$I_A=I_1+I_2$

(4.21)

$I_C=aI_1+a^2I_2$

(4.22)

Po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru na prąd I_p otrzymuje się

$I_p=-k\frac{I_1\left(Z_A+aZ_C\right)+I_2\left(Z_A+a^2Z_C\right)}{Z_A+Z_C+Z_p}$

(4.23)

Wzór powyższy wskazuje na to, że prąd pomiarowy przy odpowiednim doborze impedancji może być proporcjonalny zarówno do składowej zgodnej jak i przeciwnej. Jeśli chcemy mierzyć składową zgodną prądów, należy wyzerować czynnik stojący przy prądzie składowej przeciwnej, to jest

$Z_A+a^2Z_C=0$

(4.24)

Wystarczy w tym celu dobrać impedancje w taki sposób, aby

$Z_A=-a^2Z_C=\left(0,5+j\frac{\sqrt3}{2}\right)Z_C$

(4.25)

Istnieje wiele rozwiązań tego równania. Wystarczy przyjąć na przykład

$Z_C=R$

(4.26)

$Z_A=\frac{R}{2}+j\sqrt3\frac{R}{2}$

(4.27)

Oznacza to, że przy wyborze impedancji Z_A i Z_C określonych powyższymi wzorami (impedancja Z_C jest rezystancją a impedancja Z_A połączeniem szeregowym rezystancji R/2 i indukcyjności o reaktancji $X_L=\sqrt3\frac{R}{2}$ ) amperomierz wskaże prąd proporcjonalny do składowej zgodnej prądów liniowych, przy czym

$I_p=-\frac{\frac{R}{2}+j\sqrt3\frac{R}{2}-\frac{R}{2}+j\sqrt3\frac{R}{2}}{\frac{R}{2}+j\sqrt3\frac{R}{2}+R+Z_p}kI_1$

(4.28)

Po uproszczeniu wzoru otrzymuje się

$I_p=-\frac{j\sqrt3R}{R\sqrt3e^{j\pi/6}+Z_p}kI_1$

(4.29)

Jeśli zaniedbamy impedancję wewnętrzną amperomierza pomiarowego otrzymamy

$I_p=kI_1e^{j\pi/3}$

(4.30)

Wskazanie amperomierza występującego w filtrze (moduł mierzonego prądu) jest więc równe modułowi składowej zgodnej prądów liniowych układu, z uwzględnieniem przekładni k przekładnika prądowego.

W analogiczny sposób można otrzymać filtr składowej przeciwnej prądów. W tym celu należy wyzerować czynnik przy składowej zgodnej prądów we wzorze (4.23), czyli

$Z_A+aZ_C=0$

(4.31)

Warunek ten może być spełniony przy wyborze

$Z_C=R$

(4.32)

$Z_A=-aZ_C=\frac{R}{2}-j\sqrt3\frac{R}{2}$

(4.33)

Oznacza to, że dla uzyskania filtru składowej przeciwnej należy wybrać impedancję Z_C równą rezystancji R natomiast Z_A będącą połączeniem szeregowym rezystancji R/2 oraz reaktancji pojemnościowej $X_C=\sqrt3\frac{R}{2}$ . Prąd mierzony przez amperomierz będzie teraz równy

$I_p=-\frac{\frac{R}{2}-j\sqrt3\frac{R}{2}-\frac{R}{2}-j\sqrt3\frac{R}{2}}{\frac{R}{2}-j\sqrt3\frac{R}{2}+R+Z_p}kI_2$

(4.34)

Po uproszczeniu wzoru otrzymuje się

$I_p=-\frac{-j\sqrt3R}{R\sqrt3e^{-j\pi/6}+Z_p}kI_2$

(4.35)

Jeśli zaniedbamy impedancję wewnętrzną amperomierza pomiarowego otrzymamy

$I_p=kI_2e^{-j\pi/3}$

(4.36)

Wskazanie amperomierza filtru (moduł wartości skutecznej zespolonej) jest więc równe modułowi składowej przeciwnej prądów liniowych układu, z uwzględnieniem przekładni k przekładnika prądowego.