Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja

Analogicznie można opisać operację skalowania.

Macierz    opisuje  skalowanie  względem  początku  układu współrzędnych (rys 4.1 b).

   czyli 

 Ale czy można tak opisać translację (przesunięcie) – rysunek 4.1c) ???

Niech .   Niech wektor   opisuje translację punktu na płaszczyźnie.

Czy można znaleźć takie  ,    aby    dla   i  .

 

Widać że nie jest to możliwe dla współrzędnych dowolnego punktu. Punkt   byłby punktem stałym takiego przekształcenia.

 Niech x_p, y_p, z_p, opisują położenie punktu w 3D kartezjańskim układzie współrzędnych. W grafice komputerowej do opisu położenia oraz opisu operacji (transformacji geometrycznych), którym punkty będą podlegały, jest używany układ współrzędnych jednorodnych znormalizowanych. Dzięki temu wszystkie stosowane transformacje geometryczne mogą być opisane w identyczny sposób za pomocą mnożenia macierzowego. Jeśli współrzędne x_p, y_p, z_p opisują położenie punktu to odpowiada temu wektor   we współrzędnych jednorodnych znormalizowanych. We współrzędnych nieznormalizowanych wektor ten miałby postać   dla  , ale takich reprezentacji mogłoby być nieskończenie wiele. Problem takiej niejednoznaczności rozwiązuje operacja normalizacji:  .

Wszystkie opisy położenia w niniejszym podręczniku będą się odnosić do współrzędnych jednorodnych znormalizowanych.

 Niech  zatem położenie punktu o współrzędnych (x_p, y_p, z_p) reprezentuje wektor P :

Jeśli macierz   opisuje pewną transformację geometryczną to operację tę można opisać następująco:

czyli:

gdzie  opisuje położenie punktu po przekształceniu. Oczywiście jeśli wynik mnożenia macierzy jest nieznormalizowany, to należy dokonać normalizacji.

 

Zastosowanie w tym przypadku współrzędnych jednorodnych można sobie wyobrazić jako umieszczenie płaszczyzny, na której pracujemy, w trójwymiarowym układzie współrzędnych, w taki sposób, aby nie przechodziła ona przez początek układu (tzn. dla  ). Wtedy analogiczne opisanie operacji translacji na płaszczyźnie (ale już jako macierz 3x3) da poprawne rozwiązanie, gdyż punkt stały – początek układu współrzędnych jest poza płaszczyzną, na której jest wykonywana operacja. Jednocześnie, aby wynik operacji znajdował się na tej samej płaszczyźnie, najprościej operować na współrzędnych znormalizowanych, czyli pracować na płaszczyźnie  . Analogicznie dla przekształceń trójwymiarowych można wyobrazić sobie umieszczenie przestrzeni 3D i trójwymiarowego układu współrzędnych wewnątrz układu czterowymiarowego, tak aby nie zawierał on początku układu współrzędnych.

W grafice komputerowej operacje na płaszczyźnie opisuje macierz 3x3 w układzie 3D, natomiast operacje w przestrzeni 3D opisuje macierz 4x4 w przestrzeni 4D. Oczywiście w układach znormalizowanych.

Można powiedzieć, że macierz   definiuje liniowe funkcje określające każdą ze współrzędnych punktu tzn.:

 

Wykorzystując rachunek macierzowy przekształcenia punktu można opisać również za pomocą prawostronnego mnożenia macierzy. Wtedy, dla przyjętych wyżej danych operacja wyglądałaby tak.

                                                                                                      

 Jak widać tę samą operację można zapisać jako mnożenie lewostronne lub prawostronne przez macierz przekształcenia.

Tak naprawdę trudno byłoby wskazać uzasadnienie dla wyboru jednej lub drugiej formy zapisu. W książkach dotyczących grafiki komputerowej w ostatnich latach częściej stosowany jest zapis lewostronnego mnożenia, chociaż są autorzy, którzy nadal konsekwentnie trzymają się mnożenia prawostronnego. Natomiast sposób używania zależy od przyzwyczajeń i upodobań użytkownika. Jedno jest jednak bardzo istotne – konsekwencja. Nie można mieszać postaci opisu.