1. Metoda równań różniczkowych w analizie stanów nieustalonych w obwodach

1.5. Opis stanowy obwodu RLC

Wykorzystując opis ogólny elementów RLC oraz prawa Kirchhoffa łatwo pokazać, że liniowe obwody elektryczne RLC w stanach nieustalonych mogą być opisane przez równania różniczkowe i całkowe. Porządkując te równania i eliminując zmienne nie będące prądami cewek i napięciami kondensatorów można uzyskać tak zwaną postać kanoniczną opisu w postaci układu równań różniczkowych, który można przedstawić następująco

\(\begin{matrix}\frac{dx_1}{dt}=&a_{11}x_1+&a_{12}x_2+&...+&a_{1n}x_n+&f_1(t)\\\frac{dx_2}{dt}=&a_{21}x_1+&a_{22}x_2+&...+&a_{2n}x_n+&f_2(t)\\...&...&...&...&...&...\\\frac{dx_n}{dt}=&a_{n1}x_1+&a_{n2}x_2+&...+&a_{nn}x_n+&f_n(t)\\\end{matrix}\) (1.5)

 

Zmienne x1, x2, .., xn występujące w równaniach oznaczają prądy cewek lub napięcia kondensatorów (tzw. zmienne stanu). W opisie obwodu operuje się zwykle minimalnym zbiorem zmiennych stanu, które są niezbędne dla wyznaczenia pozostałych wielkości w obwodzie. Liczba zmiennych stanu n zależy od liczby cewek L i kondensatorów C w obwodzie i nigdy nie jest większa niż suma kondensatorów i cewek włączonych w obwodzie. W szczególnym przypadku, gdy obwód nie zawiera cykli CE (oczko złożone wyłącznie z kondensatorów i idealnych źródeł napięcia) lub rozcięć LJ (węzły obwodu lub przecięcie zawierające jedynie idealne źródła prądu i cewki) wymiar macierzy stanu jest równy liczbie kondensatorów i cewek w obwodzie n=nC+nL. W przypadku wystąpienia cykli CE lub rozcięć LJ wymiar stanu n jest pomniejszany o ich liczbę.

Stałe współczynniki aij występujące w równaniu (1.5) stanowią kombinacje wartości parametrów R, L, C, M elementów pasywnych obwodu oraz parametrów źródeł sterowanych. Funkcje czasu f1(t), f2(t), ..., fn(t) związane są z wymuszeniami napięciowymi i prądowymi w obwodzie. Przedstawiony powyżej układ równań można zapisać w postaci macierzowej

\(\left[\begin{matrix}\frac{dx_1}{dt}\\\frac{dx_2}{dt}\\...\\\frac{dx_n}{dt}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\\\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}f_1(t)\\f_2(t)\\...\\f_n(t)\\\end{matrix}\right]\) (1.6)

 

W przypadku obwodów liniowych funkcje fi(t) występujące po prawej stronie wzoru są liniowymi funkcjami wymuszeń prądowych i napięciowych. Oznaczając wymuszenia prądowe bądź napięciowe w ogólności przez ui można te funkcje zapisać przy pomocy zależności macierzowej

\(\left[\begin{matrix}f_1(t)\\f_2(t)\\...\\f_n(t)\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1m}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2m}\\...&...&...&...\\b_{n1}&b_{n2}&...&b_{nm}\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}u_1\\u_2\\...\\u_m\\\end{matrix}\right]\) (1.7)

 

Jeśli macierz zawierającą elementy aij oznaczymy jako A, macierz o elementach bij jako macierz B, wektory zawierające zmienne stanu przez x a wektor wymuszeń przez u, to równanie stanu opisujące obwód elektryczny można przedstawić w postaci

 

\(\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}={Ax}(t)+{Bu}(t)\) (1.8)

 

Jest to ogólna postać opisu stanowego obwodu liniowego RLC. Reprezentuje ona układ n równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Elementy macierzy A i B zależą wyłącznie od wartości parametrów obwodu. Elementy wektora u stanowią źródła niezależne prądu i napięcia w obwodzie. Zmienne stanu to niezależne napięcia na kondensatorach i prądy cewek.