Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja

Dana jest prosta  

 

Na prostej tej znajdują się dwa punkty T₁ [x₀,y₀,z₀]  i T₂ [x₀+A,y₀+B,z₀+C], wektor   określa zorientowanie prostej.

 

Zadanie: obrócić dowolny punkt P wokół prostej l o kąt. (rys.4.24).

Zestaw podstawowych operacji obejmował obroty, ale tylko wokół osi układu współrzędnych. Obrót wokół dowolnej osi musi być zatem zrealizowany jako złożenie operacji. Można przyjąć założenie, że generalnie celem operacji wstępnych jest takie przekształcenie przestrzeni, aby zadana oś obrotu (prosta l na rysunku) pokryła się z wybraną osią układu współrzędnych. Przy czym przyjęty zwrot osi obrotu powinien być zgodny ze zwrotem osi okładu. Takie warunki pozwolą obrót  o kąt   wokół zadanej osi zrealizować bezpośrednio jako obrót o kąt   wokół osi układu.

 

Zadanie można rozwiązać na wiele sposobów. Przyjęto następujący zestaw operacji:

1. Przesunięcie, aby punkt T₁ znalazł się w początku układu współrzędnych.
2. Obrót wokół osi OX.
3. Obrót wokół osi OY. Obroty (etap 2. i 3. ) zapewniają, że zadana oś obrotu (prosta l) pokryje się (z uwzględnieniem zwrotów) z osią OX układu współrzędnych.
4. Realizacja zadanego obrotu o kąt   wokół osi OX.
5. Obrót będący operacją odwrotną do operacji 3.
6. Obrót będący operacją odwrotną do operacji 2.
7. Przesunięcie odwrotne do  przesunięcia 1.

 Etap 1. Translacja o wektor [-x₀, -y_o, -z_o]

     

 

 Etap 2. Obrót wokół oso OX i kąt ϕ_X   taki, że:  

      

                                                           Rys.4.26 Po zrealizowaniu obrotu wokół OX   prosta l znalazła się na płaszczyźnie XOZ.

 

Etap 3. Obrót wokół osi 0Y o kąt kąt ϕ_Y  taki że:    

 
 

 

 Etap 4. Obrót wokół osi OX o kąt   

  g    

 

Następnymi etapami (5., 6., 7) będą operacje przeciwne do operacji 1., 2., 3. realizowane w odwrotnej kolejności.

 Macierz przekształcenia całkowitego jest iloczynem macierzy opisujących przekształcenia odpowiadające kolejnym przedstawionym etapom.

A zatem macierz przekształcenia całkowitego jest opisana następującą zależnością:

   M_C =  M₁^-1 · M₂^-1 · M₃^-1 · M₄ · M₃ · M₂ · M₁