Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja

Kwaterniony (quaternions) są czterowymiarowym rozwinięciem liczb zespolonych, to znaczy można je traktować jako rozszerzenie do liczby o trzech składowych urojonych. q=s+ix+jy+kz (rys. 4.31). Kwaterniony zostały zaproponowane przez Williama Hamiltona w 1843 roku. Jako ciekawostkę warto dodać, że kwaterniony powstały jako kolejna próba rozszerzenia liczb zespolonych. Początkowo Hamilton próbował rozszerzenia z dwóch na trzy wymiary jednak okazał się, że jest to niemożliwe. Dopiero rozwinięcie czterowymiarowe okazało się dobrym rozwiązaniem. Hamilton wpadł na swój genialny pomysł przechodząc przez most w Dublinie. Przypomina o tym tablica (rys. 4.32).

 Kwaternion może też być zapisany w postaci wektorowej jako:

                       

gdzie  .

  Rys.4.31 Właściwości jednostek urojonych kwaterniona.

                                                              Fragment rysunku z Wikipedii (Autorstwa Cone83 - Praca własna, CC)

  Rys.4.32 Tablica na moście w Dublinie upamiętniająca genialny pomysł   Sir W.R Hamiltona.

 

Właściwości jednostek urojonych kwaterniona.

Dla dowolnego kwaterniona   istnieje kwaternion przeciwny (sprzężony) o postaci  .

                         Czyli    .

Kwaternion przeciwny bywa także oznaczany jako .

 

Można określić normę w postaci:

                        .

Dla dowolnych kwaternionów p i q oraz liczby rzeczywistej a

                          oraz 

Kwaternion jednostkowy (jego norma jest równa 1)

                       

 

Dla każdego kwaterniona   różnego od zera istnieje kwaternion odwrotny

                       

 więc

                        .

 

Zdefiniowane są też operacje dodawania i mnożenia kwaternionów.

Niech   oraz 

                       

                       

 Dodawanie kwaternionów jest operacją łączną i przemienną.

                                            

 Mnożenie kwaternionów jest operacją łączną i nie jest operacją przemienną.

                       

                       

 

Kwaterniony są stosowane w teorii liczb i algebrze. Są bardzo użytecznym narzędziem do opisu zorientowania i obrotów. Stąd zastosowania w mechanice, robotyce i grafice komputerowej.

W grafice komputerowej kwaterniony są wykorzystywane w związku z jedną operacją w przestrzeni trójwymiarowej: z obrotem punktu wokół dowolnie zdefiniowanej osi.

Aby skorzystać z tej możliwości należy zdefiniować reprezentację punktu w postaci kwaternionu.  

Dany jest punkt   ,  odpowiada mu kwaternion     gdzie 

Niech jednostkowy wektor   reprezentuje oś obrotu w przestrzeni.

Biorąc pod uwagę kwaternion jednostkowy postaci

               

związany z tym wektorem jednostkowym, można wyznaczyć kwaternion   o postaci.

                       

Kwaternion ten reprezentuje punkt będący obrazem w obrocie wokół osi wyznaczonej przez wektor   o kąt .

Aby dokonać obrotu punktu   o kąt  wokół osi określonej przez wektor   należy:

1. wyznaczyć kwaternion    ,
2. wyznaczyć kwaternion     oraz   ,
3. wyznaczyć kwaternion    ,
4. na podstawie   wyznaczyć    .

 

Porównując to rozwiązanie z zadaniem opisanym wcześniej widać prostotę operacji obrotu wykonywanej z wykorzystaniem kwaternionów.

Większość obrotów realizowanych w grach komputerowych jest wykonywana w taki sposób.

Więcej informacji na temat kwaternionów wraz z przykładami można znaleźć w pracach [2,4].

Problem obrotu w przestrzeni wokół dowolnie zdefiniowanej osi można rozwiązać korzystając z twierdzenia Eulera (rys.4.33).

Każdy obrót w przestrzeni może być opisany za pomocą trzech kątów w odpowiednim układzie współrzędnych.

 

Rys.4.33. Kąty Eulera definiujące dowolny obrót w przestrzeni

Naturalną implementacją twierdzenia Eulera jest złożenie trzech macierzy

                           

 Takie podejście byłoby bardzo wygodne, gdyby nie problem niejednoznaczności, tzw. problem blokady przegubowej (gimbal lock). W trakcie realizacji tak zdefiniowanego obrotu może się bowiem zdarzyć, że dwie osie obrotu znajdą się na jednej prostej. Wtedy obrót wokół jednej osi wpływa na obrót wokół drugiej. Nazwa problemu pochodzi od mechanizmu przegubowego stosowanego np. do obsługi żyroskopu lub kompasu (rys.4.34), gdzie problem ten uniemożliwia jednoznaczne sterowanie urządzeniem.

 

Oczywiście stosując twierdzenie Eulera o trzech kątach w grafice komputerowej do opisania obrotów w zadanej sytuacji, można byłoby przewidzieć problem blokady przegubowej i zmienić warunki (np. kolejność operacji) aby nie dopuścić do niejednoznaczności. Niestety nie zawsze jest to wygodne, a często nie jest to możliwe, szczególnie w sytuacji interpolacji obrotu np. dla potrzeb animacji.

Realizacja obrotu z wykorzystaniem kwaternionów jest pozbawione tej wady. W tym przypadku definiowany jest od razu obrót wokół dowolnego wektora bez rozkładania na kolejne obroty składowe.

 

Podsumowując rozważania o kwaternionach warto porównać realizację obrotu za pomocą złożenia macierzy i operacji na kwaternionach. Tradycyjne składanie macierzy opisuje obrót w postaci sekwencji trzech, kolejno po sobie następujących operacji. Jest to podejście intuicyjne i łatwe w interpretacji. I niestety są to jedyne zalety. Składanie takie jest skomplikowane obliczeniowo. A przede wszystkim sekwencyjna realizacja obrotów może prowadzi do niejednoznaczności (gimbal lock). Tej podstawowej wady jest pozbawiona realizacja za pomocą kwaternionów, gdyż daje ona możliwość definicji obrotu bez rozbijania na składowe. Realizacja ta jest jednocześnie prostsza obliczeniowo. Jedyną wadą realizacji obrotów z wykorzystaniem kwaternionów jest złożona i trudna interpretacja operacji.

 

Więcej informacji na temat zastosowania kwaternionów i problemów związanych z obrotami można znaleźć w pracach [2,5,7].