Podręcznik

Dla macierzy stanu

 

$\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]$

 

wyznaczyć wartości i wektory własne

 

 

Rozwiązanie

Równanie charakterystyczne

$det{(}s\mathbf{1}-\mathbf{A})=det{\left(s\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\right)}=s^2+5s+4=0$

Pierwiastki tego równania będące wartościami własnymi A są równe s₁=-4 oraz s₂=-1. Wektory własne spełniają relację (1.25), która w naszym przypadku przyjmie postać

 

$\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{11}\\x_{21}\\\end{matrix}\right]=-4\left[\begin{matrix}x_{11}\\x_{21}\\\end{matrix}\right]$

 

$\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{12}\\x_{22}\\\end{matrix}\right]=-1\left[\begin{matrix}x_{12}\\x_{22}\\\end{matrix}\right]$

 

Powyższym równaniom odpowiadają cztery równania skalarne o postaci

 

$-2x_{11}-2x_{21}=-4x_{11}$

$-x_{11}-3x_{21}=-4x_{21}$

$-2x_{12}-2x_{22}=-x_{12}$

$-x_{12}-3x_{22}=-x_{22}$

 

Biorąc pod uwagę, że dwa spośród nich są zależne, dwie zmienne można przyjąć dowolnie, na przykład x₁₁=1 oraz x₂₂=-1. Z rozwiązania pozostałych 2 równań otrzymuje się wektory własne o postaci

 

$\mathbf{x}_1=\left[\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right],\mathrm{\ \ \ \ \ \ }\mathbf{x}_2=\left[\begin{matrix}2\\-1\\\end{matrix}\right]$

 

Napisać układ równań stanu dla obwodu elektrycznego przedstawionego na rys. 1.1

Rys. 1.1. Schemat obwodu do przykładu 1.2

 

Rozwiązanie

Z praw Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rys. 1.1 wynikają następujące równania

$e=Ri_C+u_C+u_L$

$i=i_L-i_C$

 

Biorąc pod uwagę, że

 

$u_L=L\frac{di_L}{dt}$

oraz

$i_C=C\frac{du_C}{dt}$

 

równania Kirchhoffa można przekształcić do równoważnej postaci równań różniczkowych

 

$e=R(i_L-i)+L\frac{di_L}{dt}+u_C$

 

$C\frac{du_C}{dt}=i_L-i$

 

które przyjmują uporządkowaną formę odpowiadającą postaci (1.5)

 

$\frac{di_L}{dt}=-\frac{R}{L}i_L-\frac{1}{L}u_C+\frac{1}{L}e+\frac{R}{L}i$

 

$\frac{du_C}{dt}=\frac{1}{C}i_L-\frac{1}{C}i$

 

Równania powyższe można zapisać w postaci zależności macierzowej równania stanu, w której zmiennymi stanu są prąd cewki i napięcie kondensatora.

 

$\left[\begin{matrix}\frac{di_L}{dt}\\\frac{du_C}{dt}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\frac{-R}{L}&\frac{-1}{L}\\\frac{1}{C}&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}i_L\\u_C\\\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}\frac{1}{L}&\frac{R}{L}\\0&\frac{-1}{C}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}e\\i\\\end{matrix}\right]$

 

Wektor stanu x jest równy

 

${x}=\left[\begin{matrix}i_L\\u_C\\\end{matrix}\right]$

 

a wektor wymuszeń

 

${u}=\left[\begin{matrix}{e}\\{i}\\\end{matrix}\right]$

 

Obwód liniowy zawierający dwa elementy reaktancyjne (cewka i kondensator) opisuje się więc macierzowym  równaniem stanu drugiego rzędu. Macierz stanu A jest macierzą również drugiego rzędu o współczynnikach uzależnionych od wartości rezystancji, pojemności oraz indukcyjności. Macierz B zawiera dwa wiersze (liczba zmiennych stanu) oraz dwie kolumny (liczba wymuszeń w obwodzie). Przyjmując w analizie wartości liczbowe obwodu: R=2W, L=1H, C=1F otrzymuje się macierz stanu A o postaci

 

${A}=\left[\begin{matrix}-2&-1\\1&0\\\end{matrix}\right]$

 

Równanie charakterystyczne tej macierzy jest równe

 

$det{(}s\mathbf{1}-{A})=det{\left(\left[\begin{matrix}s&0\\0&s\\\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}-2&-1\\1&0\\\end{matrix}\right]\right)}=s^2+2s+1=0$

 

Wartości własne (pierwiastki równania charakterystycznego) są w tym przypadku sobie równe i wynoszą s₁ = s₂ = -1. Dla rozważanego obwodu RLC są one położone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s na ujemnej osi rzeczywistej.