Podręcznik
1. Metoda równań różniczkowych w analizie stanów nieustalonych w obwodach
1.9. Wyznaczanie macierzy eAt
Kluczem do wyznaczenia rozwiązania obwodu w stanie przejściowym metodą zmiennych stanu jest określenie macierzy eAt. Istnieje wiele metod rozwiązania tego zadania. Tutaj przedstawimy trzy z nich: metodę Lagrange’a-Sylvestera, diagonalizacji macierzy oraz Cayleya-Hamiltona. W każdej z nich wymagane jest wyznaczenie wartości własnych si macierzy A.
Metoda Lagrange’a-Sylvestera
W metodzie tej macierz eAt wyznacza się z prostej zależności podanej w postaci jawnej
|
\(e^{{A}t}=\sum_{r=1}^{n}{e^{s_rt}\frac{\prod_{l\neq r}^{n}\left(s_l\mathbf{1}-{A}\right)}{\prod_{l\neq r}^{n}\left(s_l-s_r\right)}}\) |
(1.22) |
Z analizy powyższego wzoru widoczne jest, że metoda Lagrange’a-Sylvestera obowiązuje jedynie dla przypadku wartości własnych pojedynczych (przy wartościach wielokrotnych mianownik zależności staje się zerowy).
Metoda diagonalizacji macierzy
W metodzie diagonalizacji macierzy zastępuje się obliczenie macierzy eAt poprzez transformację macierzy A do postaci diagonalnej D o tych samych wartościach własnych. Diagonalna macierz D posiada prostą formę macierzową eDt, będącą również macierzą diagonalną o postaci
|
\(e^{{D}t}=\left[\begin{matrix}e^{s_1t}&0&0&0\\0&e^{s_2t}&0&0\\...&...&...&...\\0&0&0&e^{s_nt}\\\end{matrix}\right]\) |
(1.23) |
Mnożąc obustronnie równanie stanu dx/dt = Ax przez nieosobliwą macierz U przekształca się je do postaci d(Ux)/dt = UAx. Wprowadźmy nowy wektor v = Ux. Wówczas oryginalne równanie stanu przekształca się do postaci określonej względem v, przy czym
|
\(\frac{d{v}}{dt}={Dv}\) |
(1.24) |
gdzie D jest macierzą diagonalną określoną wzorem D=UAU-1 o wartościach diagonalnych równych wartościom własnym macierzy A. Macierz przekształcenia U należy tak dobrać, aby spełniona była równość UA=DU. Zależność ta reprezentuje sobą układ równań liniowych. Rozwiązanie równania stanu (1.24) dane jest w prostej formie
|
\({v}(t)=e^{{D}t}{v}(0^+)\) |
(1.25) |
Biorąc pod uwagę, że v=Ux, po wstawieniu tej zależności do równania (1.25) otrzymuje się
|
\({x}(t)={U}^{-1}e^{{D}t}{Ux}(0^+)\) |
(1.26) |
Oznacza to, że macierz eAt została określona wzorem
|
\(e^{{A}t}={U}^{-1}e^{{D}t}{U}\) |
(1.27) |
Zauważmy, że powyższa metoda prowadzi do wyniku wyłącznie dla pojedynczych wartości własnych macierzy A, podobnie jak metoda Lagrange’a-Sylwestera.
Metoda Cayleya-Hamiltona
Zgodnie z tą metodą macierz eAt rozwija się w szereg skończony o n składnikach (n – stopień macierzy A)
|
\(e^{{A}t}=a_0{1}+a_1{A}+...+a_{n-1}{A}^{n-1}\) |
(1.28) |
Dla pełnego określenia rozwiązania należy wyznaczyć wszystkie współczynniki ai (i = 0, 1,..., n-1) rozwinięcia (1.28). Współczynniki te są wówczas funkcjami czasu ai=ai(t).
W przypadku pojedynczych wartości własnych nieznane współczynniki wyznacza się z rozwiązania układu n równań skalarnych, wynikających z twierdzenia Cayleya-Hamiltona. Zgodnie z tym twierdzeniem każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne. Oznacza to w praktyce, że równanie (1.28) musi być spełnione również przez wartości własne macierzy A (macierz A jest zastąpiona w tym równaniu przez kolejne wartości własne skalarne). W przypadku pojedynczych wartości własnych prowadzi to do układu n równań z n niewiadomymi o postaci
|
\(e^{s_1t}=a_0+a_1s_1+...+a_{n-1}s_1^{n-1}\) \(e^{s_2t}=a_0+a_1s_2+...+a_{n-1}s_2^{n-1}\) \(\mathrm{\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .}\) \(e^{s_nt}=a_0+a_1s_n+...+a_{n-1}s_n^{n-1}\) |
(1.29) |
Rozwiązanie powyższego układu równań względem współczynników ai pozwala określić pełną postać macierzy eAt według wzoru (1.28).
Wzór Cayleya-Hamiltona obowiązuje również dla wielokrotnych wartości własnych, przy czym ubytek równań w zbiorze (1.29) wynikający z wielokrotności wartości własnych uzupełnia się analogicznymi równaniami obowiązującymi dla pochodnych względem wartości własnej wielokrotnej. Przykładowo, jeśli k-ta wartość własna sk występuje podwójnie, wówczas obowiązują dla niej dwie równości Cayleya-Hamiltona o postaci
|
\(e^{s_kt}=a_0+a_1s_k+...+a_{n-1}s_k^{n-1}\) \(\frac{de^{s_kt}}{ds_k}=te^{s_kt}=a_1+2a_2s_k+...+(n-1)a_{n-1}s_k^{n-2}\) |
(1.30) |
W ten sposób brakujące równanie w układzie (1.29) zostaje zastąpione równaniem dla pochodnej i układ równań pozostaje rozwiązywalny.
Obliczanie macierzy eAt zilustrujemy na przykładzie macierzy stanu A o podwójnej wartości własnej. Macierz stanu dana jest w postaci
\({A}=\left[\begin{matrix}-4&-2\\2&0\\\end{matrix}\right]\)
Rozwiązanie
Równanie charakterystyczne macierzy A
\(det{(}s\mathbf{1}-{A})=s^2+4s+4=0\)
Wartości własne są pierwiastkami równania charakterystycznego i równają się s1=s2=-2 (pierwiastek podwójny). Wobec podwójnej wartości własnej macierz eAt wyznaczymy stosując metodę Cayleya-Hamiltona. Zgodnie z tą metodą dla macierzy stopnia n=2 mamy
\(e^{{A}t}=a_0{1}+a_1{A}\)
Wartości współczynników ai wyznaczymy rozwiązując układ równań
\(e^{s_1t}=a_0+a_1s_1\)
\(\frac{de^{s_1t}}{ds_1}=te^{s_1t}=a_1\)
Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się
\(e^{-2t}=a_0-2a_1\)
\(te^{-2t}=a_1\)
Rozwiązanie względem współczynników a0 i a1 pozwala uzyskać
\(a_0=e^{-2t}+2te^{-2t}\)
\(a_1=te^{-2t}\)
Po wstawieniu tych wartości do wzoru na eAt otrzymuje się
\(e^{{A}t}=\left(e^{-2t}+2te^{-2t}\right)\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]+te^{-2t}\left[\begin{matrix}-4&-2\\2&0\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\left(e^{-2t}-2te^{-2t}\right)&-2te^{-2t}\\2te^{-2t}&\left(e^{-2t}+2te^{-2t}\right)\\\end{matrix}\right]\)