Podręcznik: Metoda klasyczna rozwiązania równań różniczkowych

1. Metoda równań różniczkowych w analizie stanów nieustalonych w obwodach

1.11. Metoda klasyczna rozwiązania równań różniczkowych

W przypadku, gdy interesuje nas tylko jedna wybrana zmienna (jeden prąd bądź jedno napięcie w obwodzie) układ równań stanu pierwszego rzędu można sprowadzić do jednego równania różniczkowego n-tego rzędu względem tej zmiennej

$a_n\frac{d^nx}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}x}{dt^{n-2}}+...+a_1\frac{dx}{dt}+a_0x=f(t)$

(1.33)

Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego, podobnie jak w metodzie zmiennych stanu, można przedstawić w postaci sumy dwu składowych: ustalonej $x_u(t)$ wymuszonej przez źródło oraz składowej przejściowej $x_p(t)$ , zwanej również składową swobodną, pochodzącą od niezerowych warunków początkowych dla tej składowej

$x(t)=x_u(t)+x_p(t)$

(1.34)

Składowa wymuszona stanowi rozwiązanie ustalone obwodu po komutacji i może być wyznaczona metodą symboliczną. Składowa przejściowa charakteryzuje fizycznie procesy zachodzące w obwodzie elektrycznym na skutek niezerowych warunków początkowych przy braku wymuszeń zewnętrznych. Odpowiada ona obwodowi, w którym wyeliminowano wszystkie zewnętrzne źródła wymuszające (źródła napięciowe zwarte a prądowe rozwarte).

Składowa przejściowa zależy jedynie od warunków początkowych odniesionych do tej składowej (napięć początkowych kondensatorów i prądów początkowych cewek), struktury obwodu i wartości parametrów tego obwodu. Dla obwodów elektrycznych zawierających elementy rozpraszające energię (rezystancje) składowa przejściowa, jak zostanie pokazane później, zanika z biegiem czasu do zera. Równanie składowej przejściowej otrzymuje się zakładając wymuszenie f(t) we wzorze (1.29) równe zeru i zastępując zmienną $x(t)$ poprzez jej składową przejściową $x_p(t)$ . Otrzymuje się wówczas równanie różniczkowe jednorodne o postaci

$a_n\frac{d^nx_p}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x_p}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}x_p}{dt^{n-2}}+...+a_1\frac{dx_p}{dt}+a_0x_p=0$

(1.35)

Rozwiązanie powyższego równania jednorodnego uzyskuje się za pośrednictwem równania charakterystycznego, stosującego opis operatorowy z użyciem operatora s

$a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n-2}s^{n-2}+...+a_1s+a_0=0$

(1.36)

Jest to wielomian n-tego rzędu względem operators s o współczynnikach rzeczywistych a_i. Jest on identyczny z równaniem charakterystycznym otrzymanym dla zmiennych stanu. Pierwiastki $s_i$ (i=1, 2, ..., n) tego wielomianu stanowią bieguny układu, identyczne z wartościami własnymi macierzy stanu A. W tym punkcie ograniczymy się jedynie do przypadku biegunów pojedynczych. Przy takim założeniu rozwiązanie równania (1.35) dla składowej przejściowej zapiszemy w postaci

$x_p(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}A_ie^{s_it}$

(1.37)

W rozwiązaniu tym współczynniki $A_i$ są stałymi całkowania, które należy wyznaczyć wykorzystując znajomość warunków początkowych w obwodzie (napięć kondensatorów i prądów cewek w chwili komutacji t=0). W tym celu należy wyznaczyć rozwiązanie równania (1.35) dla każdej składowej przejściowej zmiennej stanu $x_{pk}(t)$ oddzielnie, a następnie rozwiązanie całkowite $x_k(t)=x_{uk}(t)+x_{pk}(t)$ dla k=1, 2, ..., n. Każda ze zmiennych $x_k(t)$ posiada znaną wartość rozwiązania $x_k(0^-)$ w chwili t=0 (warunki początkowe). Z ciągłości prądów cewek i napięć kondensatorów wynika następująca zależność

$x_k(0^-)=x_{uk}(0^+)+x_{pk}(0^+)$

(1.38)

Pisząc tę równość dla wszystkich n zmiennych stanu otrzymuje się n równań algebraicznych z n nieznanymi współczynnikami $A_i$ . Z rozwiązania tego układu wyznacza się wszystkie współczynniki $A_i$ i podstawia do wzoru ogólnego (1.37). Po wyznaczeniu rozwiązania obwodu dla składowej ustalonej i przejściowej rozwiązanie całkowite równania (1.34) jest sumą obu rozwiązań cząstkowych, to znaczy

$x(t)=x_u(t)+x_p(t)$

(1.39)

Powyższa procedura rozwiązania stanu nieustalonego w obwodzie poprzez rozwiązanie układu równań różniczkowych wyższego rzędu nosi nazwę metody klasycznej. Przy większej liczbie zmiennych jest ona dość uciążliwa w obliczeniach, gdyż wymaga pracochłonnego wyznaczania rozwiązań dla każdej składowej przejściowej zmiennych stanu. Dlatego w praktyce stosuje się zwykle tylko do równań pierwszego rzędu. W tej pracy zastosujemy ją do rozwiązania stanu nieustalonego w obwodzie RL oraz RC przy załączeniu napięcia stałego.