Podręcznik: Stan nieustalony w gałęzi szeregowej RC przy załączeniu napięcia stałego

2. Stany nieustalone w obwodach RL i RC

2.2. Stan nieustalony w gałęzi szeregowej RC przy załączeniu napięcia stałego

Rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie szeregowym RC przy zerowych warunkach początkowych i załączeniu napięcia stałego (rys. 2.6).

Rys. 2.6. Załączenie napięcia stałego do obwodu szeregowego RC

Wobec braku zasilania w obwodzie przed przełączeniem w warunki początkowe obwodu są zerowe, co oznacza, że $u_C(0^-)=0$ .

Po przełączeniu powstaje w obwodzie stan nieustalony, który po pewnym czasie prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego. Stan nieustalony obwodu jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego. Stan ustalony w obwodzie RC przy wymuszeniu stałym (w=0) oznacza, że kondensator stanowi przerwę (rys. 2.7a).

Rys. 2.7 Schemat obwodu RC dla składowej a) ustalonej, b) przejściowej

Zgodnie z prawem napięciowym Kirchhoffa napięcie ustalone kondensatora jest równe

$u_{Cu}(t)=E$

(2.16)

Schemat obwodu dla stanu przejściowego (po zwarciu źródła zasilającego, dla którego odpowiedź została właśnie obliczona) ma postać przedstawioną na rys. 2.7b. Stosując prawo napięciowe Kirchhoffa dla tego obwodu i uwzględniając, że $i_{Cp}=C\frac{du_{Cp}}{dt}$ , otrzymuje się równanie różniczkowe jednorodne o postaci

$RC\frac{du_{Cp}}{dt}+u_{Cp}=0$

(2.17)

Równanie charakterystyczne odpowiadające mu przyjmuje więc postać

$RCs+1=0$

(2.18)

Równanie to posiada jeden pierwiastek $s_1=-1/(RC)$ . W związku z powyższym jego rozwiązanie wynikające ze wzoru (10.41) przyjmie uproszczoną postać

$u_{Cp}=A_1e^{s_1t}=A_1e^{-\frac{t}{RC}}$

(2.19)

W rozwiązaniu tym współczynnik $A_1$ jest stałą całkowania, którą należy wyznaczyć korzystając z prawa komutacji. Rozwiązanie całkowite będące sumą składowej ustalonej i przejściowej przybiera więc postać

$u_C(t)=u_{Cu}(t)+u_{Cp}(t)=E+A_1e^{-\frac{t}{RC}}$

(2.20)

Z prawa komutacji dla kondensatora wynika, że $u_C(0^-)=u_C(0^+)$ , stąd wobec $u_C(0^-)=0$ otrzymuje się

$0=E+A_1$

oraz

$A_1=-E$

(2.21)

Rozwiązanie czasowe określające przebieg napięcia na kondensatorze przyjmuje więc postać

$u_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)$

(2.22)

Wprowadzając pojęcie stałej czasowej $\tau$ obwodu RC jako iloczynu rezystancji R i pojemności C

$\tau=RC$

(2.23)

rozwiązanie na napięcie kondensatora w stanie nieustalonym można zapisać w postaci

$u_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

(2.24)

Jak łatwo sprawdzić podstawową jednostką stałej czasowej w obwodzie RC jest również sekunda (jednostką rezystancji jest 1W = 1V/A, a jednostką pojemności jest 1F = 1As/V). Na rys. 2.8 przedstawiono przebiegi napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym $u_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ dla różnych wartości stałej czasowej.

Rys. 2.8. Przebiegi napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym przy różnych stałych czasowych

Im dłuższa stała czasowa tym dłużej trwa stan przejściowy w obwodzie (zanikanie zmian napięcia do zera).
Łatwo wykazać, że po upływie 3 stałych czasowych ( $t=3\tau$ ) napięcie uzyskuje prawie 95% swojej wartości ustalonej a po 5 stałych czasowych aż 99,3%. Oznacza to, że praktycznie po 5 stałych czasowych stan nieustalony w obwodzie zanika przechodząc w stan ustalony.
Stałą czasową można wyznaczyć bezpośrednio na podstawie zarejestrowanego przebiegu nieustalonego bez znajomości wartości rezystancji i pojemności, podobnie jak to miało miejsce w przypadku obwodu RL. Zauważmy, że dla $t=\tau$ napięcie na kondensatorze przyjmuje wartość

$u_C(\tau)=E(1-e^{-1})=0,632E$

(2.25)

Oznacza to, że napięcie $u_C(t)\left|t=\tau\right.=0,632E$ wyznacza na osi odciętych wartość stałej czasowej. Ilustruje to rys. 2.9.

Rys. 2.9. Wyznaczanie stałej czasowej obwodu RC na podstawie przebiegu czasowego napięcia kondensatora

Po określeniu funkcji opisującej przebieg napięcia na kondensatorze można określić przebieg czasowy prądu w obwodzie. Korzysta się przy tym z zależności definicyjnej kondensatora $i_C=C\frac{du_C}{dt}$ , zgodnie z którą

$i_C(t)=C\frac{du_c(t)}{dt}=\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$

(2.26)

Przebieg prądu ładowania kondensatora w stanie nieustalonym w obwodzie RC dla różnych stałych czasowych przedstawia rys. 2.10.

Rys. 2.10. Przebieg prądu ładowania kondensatora w obwodzie RC

W chwili komutacji występuje skokowa zmiana wartości prądu (prąd kondensatora nie jest objęty komutacyjnym prawem ciągłości). Przebieg prądu kondensatora dąży do wartości ustalonej zerowej (w stanie ustalonym kondensator stanowi przerwę dla prądu). Stała czasowa zmian tego prądu jest identyczna jak napięcia i równa $\tau=RC$ .