Podręcznik: Wiadomości podstawowe dotyczące rachunku operatorowego Laplace’a

3. Metoda operatorowa Laplace’a

3.1. Wiadomości podstawowe dotyczące rachunku operatorowego Laplace’a

Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operację rozwiązywania równań różniczkowych zastępując ją rozwiązaniem układu równań algebraicznych. Istota przekształcenia Laplace’a polega na tym, że każdej funkcji czasu f(t) określonej dla t>0 odpowiada pewna funkcja F(s) określona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, każdej funkcji F(s) odpowiada określona funkcja czasu f(t). Funkcję f(t) nazywamy oryginałem i oznaczamy małą literą. Funkcję F(s) nazywamy transformatą funkcji określoną w dziedzinie zmiennej zespolonej s i oznaczamy dużą literą. Zmienna s jest nazywana częstotliwością zespoloną, przy czym $s=\sigma+j\omega$ , gdzie ω oznacza pulsację.
W elektrotechnice najczęściej używane jest jednostronne przekształcenie Laplace’a, określone parą równań:

$F(s)=L\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-st}dt}$

(3.1)

$f(t)=L^{-1}\left\{F(s)\right\}=\frac{1}{2\pi\cdot j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}{F(s)e^{st}ds}$

(3.2)

w których c jest bliżej nieokreśloną stałą warunkującą położenie granic całkowania w obszarze zbieżności transformaty. Pierwsze z równań definiuje proste przekształcenie Laplace’a przyporządkowujące oryginałowi transformatę zmiennej zespolonej s, a drugie przekształcenie odwrotne dokonujące transformacji odwrotnej, czyli wyznaczające funkcję oryginału na podstawie F(s). Zakładamy przy tym, że funkcja f(t) jest funkcją czasu, zadaną dla t>0 i równą 0 dla t<0 oraz, że nie rośnie szybciej niż funkcja wykładnicza. Proste przekształcenie Laplace’a określone wzorem (3.1) dokonuje transformacji funkcji czasu f(t) na funkcję F(s) zmiennej zespolonej s. Przekształcenie odwrotne określone wzorem (3.2) dokonuje transformacji funkcji zespolonej F(s) na funkcję czasu f(t). Wzór ten pełni jedynie rolę definicji i w praktyce nie używa się go do wyznaczania transformaty odwrotnej, wykorzystując w zamian własności transformat Laplace’a.

Wyznaczymy z definicji transformatę Laplace’a funkcji stałej f(t)=A. Z definicji (3.1) transformaty otrzymuje się

$F(s)=L\left\{A\right\}=A{\int_{0}^{\infty}{e^{-st}dt=\left[\frac{-A}{s}e^{-st}\right]}}_0^\infty=\frac{A}{s}$

Jako drugi przykład wyznaczymy transformatę Laplace’a funkcji wykładniczej

$f(t)=e^{at}$ , gdzie w ogólności

$a=\alpha+j\beta$ . Z zastosowania wzoru (3.1) otrzymuje się

$F(s)=L\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^{\infty}e^{at}e^{-st}dt=\left[\frac{1}{a-s}e^{\left(a-s\right)t}\right]_0^\infty$

Po wstawieniu granic całkowania otrzymuje się

$L\left\{e^{at}\right\}=\frac{1}{s-a}$

Należy podkreślić, że jednostronne przekształcenie Laplace’a jest określone w przedziale od zera do nieskończoności, stąd postać funkcji dla czasu ujemnego nie ma żadnego wpływu na transformatę Laplace’a.
Na przykład funkcja stała f(t)=1 oraz funkcja skoku jednostkowego f(t)=1(t) (funkcja skokowa Heaviside’a) określona wzorem

$1(t)=\left\{\begin{matrix}1&\mathrm{dla}&t>0\\\frac{1}{2}&\mathrm{dla}&t=0\\0&\mathrm{dla}&t$

(3.3)

mają identyczne transformaty Laplace’a, pomimo tego że dla t < 0 są inne (pierwsza równa 1 a druga równa 0) gdyż w zakresie czasowym od zera do nieskończoności nie różnią się niczym.
Jakkolwiek definicja przekształcenia Laplace’a umożliwia obliczenie transformaty dla dowolnej funkcji czasu, w obliczeniach inżynierskich posługujemy się najczęściej tablicami transformat Laplace’a zebranymi w poradnikach matematycznych, wykorzystując przy tym podstawowe własności tego przekształcenia.