Podręcznik: Przesunięcie w dziedzinie czasu

3. Metoda operatorowa Laplace’a

3.7. Przesunięcie w dziedzinie czasu

Transformata Laplace’a funkcji czasu o argumencie przesuniętym względem początku układu współrzędnych spełnia następującą zależność

$L\left[f(t-a)\cdot1(t-a)\right]=e^{-as}F(s)$

(3.9)

Przesunięcie argumentu funkcji oryginalnej f(t) w dziedzinie czasu $f(t)\rightarrow f(t-a)\cdot1(t-a)$ odpowiada w dziedzinie częstotliwości pomnożeniu transformaty Laplace’a funkcji oryginalnej F(s) (nieprzesuniętej) przez funkcję wykładniczą $e^{-as}$ .

Własność powyższa jest często wykorzystywana przy obliczaniu transformat nietypowych funkcji jak również przy analizie obwodów o wymuszeniach impulsowych.

Tutaj zilustrujemy jej użyteczność przy obliczaniu transformaty impulsu Diraca, zwanej funkcją impulsową Diraca. Impulsem Diraca nazywamy wielkość $\delta(t)$ o następujących własnościach.

$\delta(t)=\left\{\begin{matrix}0\\\infty\\\end{matrix}\right.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\begin{matrix}dla\\dla\\\end{matrix}\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\begin{matrix}t\neq0\\t=0\\\end{matrix}$

(3.10)

oraz

$\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t)dt=1}$

(3.11)

Impuls Diraca przyjmuje wartość nieskończoną tylko dla jednego punktu t = 0 a w pozostałym zakresie ma wartość zerową. Wartość nieskończona stwarza pewne trudności obliczeniowe. Aby je przezwyciężyć wprowadza się jej aproksymację w postaci

$\delta(t,h)=\frac{1}{h}\left[1(t)-1(t-h)\right]$

(3.12)

której wykres dla różnych wartości h przedstawiony jest na rys. 3.1.

Rys. 3.1. Aproksymacja funkcji Diraca przez funkcję impulsową

Im mniejsza wartość h tym bardziej funkcja aproksymująca zbliża się swym wyglądem do funkcji Diraca. W granicy przy $h\rightarrow0$ funkcja aproksymująca jest zbieżna do rzeczywistej funkcji Diraca. Transformata Laplace’a dla funkcji aproksymującej jest dana w postaci

$L\left\{\delta(t,h\right\}=\frac{1}{h}\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s}e^{-sh}\right]$

(3.13)

Biorąc pod uwagę, że funkcja Diraca jest granicą funkcji aproksymującej otrzymuje się

$L\{\delta (t)\} =\lim \limits_{h \ \rightarrow 0} L\{\delta (t,h)\} =\lim \limits_{h \ \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left[\frac{1}{s} -\frac{1}{s} e^{-sh}\right] =\ 1$

(3.14)

Transformata Laplace’a funkcji delty Diraca jest równa jedności.