Podręcznik: Transformata splotu

3. Metoda operatorowa Laplace’a

3.8. Transformata splotu

Splot stanowi ważne pojęcie w teorii obwodów, gdyż za jego pośrednictwem określa się odpowiedzi czasowe obwodów rzeczywistych RLC. Splot dwu funkcji czasu f₁(t) i f₂(t) oznaczony w postaci $f_1(t)\ast f_2(t)$ jest zdefiniowany w następujący sposób

$f_1(t)\ast f_2(t)=\int_{0}^{t}{f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau}=\int_{0}^{t}{f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau}$

(3.15)

Transformata Laplace’a splotu jest równa zwykłemu iloczynowi transformat poszczególnych funkcji tworzących splot

$L\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]=F_1(s)\cdot F_2(s)$

(3.16)

Powyższa własność nosi w matematyce nazwę twierdzenia Borela. Zauważmy, że mnożenie splotowe dwu funkcji w dziedzinie czasu odpowiada zwykłemu mnożeniu ich transformat w dziedzinie częstotliwości. Własność ta jest szczególnie wygodna w analizie obwodów zarówno w stanie ustalonym jak i nieustalonym. Zamiast żmudnych operacji w dziedzinie czasu wykonuje się transformację Laplace’a funkcji czasowych a następnie wszystkie operacje wykonuje na transformatach.