3. Metoda operatorowa Laplace’a

3.9. Przykłady transformat Laplace’a

Obliczanie transformat Laplace’a polega na zastosowaniu wzoru (3.1) przy zadanej funkcji oryginału i przeprowadzeniu działań w nim określonych (całkowanie funkcji i wyznaczenie wartości na granicach całkowania). Przykłady wyznaczania transformaty Laplace’a dla funkcji impulsowej Diraca, wartości stałej, funkcji wykładniczej i cosinusoidalnej zostały zaprezentowane na początku tej lekcji. 
Obliczanie transformat dla większości funkcji, zwłaszcza bardziej złożonych, nie jest procesem łatwym i dlatego w praktyce inżynierskiej najczęściej posługujemy się tablicami gotowych transformat Laplace’a, których źródło znaleźć można w wielu poradnikach matematycznych jak również podręcznikach poświęconych rachunkowi operatorowemu. W tablicy 3.1 zestawiono wybrane przykłady transformat Laplace’a szczególnie często wykorzystywanych przy rozwiązywaniu stanów nieustalonych w obwodach RLC. W dalszej części tej lekcji będą one wykorzystane do wyznaczania transformat odwrotnych Laplace’a (funkcji czasu odpowiadających transformatom). 
 

Tablica 3.1 Tablica wybranych transformat Laplace’a

f(t) F(s)
\(\delta(t)\) 1
1(t) \(\frac{1}{s}\)
t \(\frac{1}{s^2}\)
\(t^n\mathrm{,\ \ \ \ \ }n\in N\) \(\frac{n!}{s^{n+1}}\)
\(e^{-\alpha t}\) \(\frac{1}{s+\alpha}\)
\(sin{(}\omega t)\) \(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\)
\(e^{-\alpha t}sin{(}\omega t)\) \(\frac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\)
\(e^{-\alpha t}cos{(}\omega t)\) \(\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\)

 

Zawartość tablicy przedstawiająca zbiór funkcji czasu wraz z odpowiadającymi im transformatami może służyć zarówno wyznaczaniu transformaty Laplace’a przy zadanej funkcji czasu jak i działaniu odwrotnemu, to jest wyznaczeniu oryginału na podstawie zadanej postaci transformaty. Przykładowo, jeśli transformata dana jest wzorem

\(F(s)=15\frac{5}{\left(s+2\right)^2+5^2}\)

to odpowiadająca mu funkcja oryginału odczytana z tablicy 3.1 ma postać

\(f(t)=15e^{-2t}sin{(}5t)\)

W dalszej części rozważań podamy rozwinięcie tej metody pozwalające na wyznaczenie transformaty odwrotnej dla dowolnej postaci funkcji wymiernej F(s) korzystając z tablicy 3.1.