3. Metoda operatorowa Laplace’a

3.11. Metoda residuów

Załóżmy, że funkcja wymierna F(s) zadana jest w postaci ilorazu dwu wielomianów zmiennej zespolonej s, określona wzorem (3.17)

\(F(s)=\frac{L(s)}{M(s)}\)

 (3.18)

Pierwiastki licznika funkcji transformaty są nazywane zerami a pierwiastki mianownika biegunami. Zauważmy, że bieguny są utożsamione z pierwiastkami równania charakterystycznego występującego w metodzie klasycznej lub wartościami własnymi macierzy stanu A. W metodzie residuów korzysta się z następującego twierdzenia.

Jeżeli funkcja F(s) jest ilorazem dwu wielomianów L(s) i M(s), przy czym stopień wielomianu mianownika jest wyższy niż stopień wielomianu licznika (n>m) to oryginał funkcji f(t) określony jest następującym wzorem

\(L^{-1}\left[F(s)\right]=\sum_{i=1}^{n}{res_{s=s_i}\left[F(s)e^{st}\right]}\)

 (3.19)
Sumowanie odbywa się po wszystkich biegunach funkcji operatorowej F(s) niezależnie od tego, czy bieguny są pojedyncze czy wielokrotne.
Residuum funkcji \(res[\circ]\) wyznacza się korzystając ze wzorów wynikających z własności przekształcenia Laplace’a. W przypadku bieguna l-krotnego wzór jest następujący

\(res_{s=s_i}\left[F(s)e^{st}\right]=\frac{1}{(l-1)!}{lim}_{s\rightarrow s_i}{\frac{d^{(l-1)}}{ds^{l-1}}}\left[F(s)(s-s_i)^le^{st}\right]\)

 (3.20)
Szczególnie proste zależności otrzymuje się dla bieguna jednokrotnego \(s_i\). W takim przypadku l=1 i wzór na residuum ulega znacznemu uproszczeniu 

\(res_{s=s_i}\left[F(s)e^{st}\right]={lim}_{s\rightarrow s_i}{\left[F(s)(s-s_i)e^{st}\right]}\)

 (3.21)
Wzór (3.19) wykorzystujący residuum funkcji jest stosowalny dla dowolnych biegunów funkcji F(s), w tym biegunów rzeczywistych, zespolonych, jednokrotnych i wielokrotnych. Jednakże przy biegunach zespolonych obliczenie residuum jest procesem dość złożonym i metoda nie jest konkurencyjna względem innych.
 

Jako pierwszy przykład rozpatrzmy wyznaczenie transformaty odwrotnej Laplace’a funkcji F(s) danej wzorem

\(F(s)=\frac{5s}{(s+1)(s+3)}\)

Zadana funkcja ma dwa bieguny: \(s_1=-1\) oraz \(s_2=-3\). Wykorzystując wzór (3.19) otrzymuje się

\(f(t)=res_{s=s_1}\left[F(s)e^{st}\right]+res_{s=s_2}\left[F(s)e^{st}\right]\)

Na podstawie wzoru (3.21) otrzymuje się

\(f(t)={lim}_{s\rightarrow s_1}{\left[F(s)(s+1)e^{st}\right]}+{lim}_{s\rightarrow s_2}{\left[F(s)(s+3)e^{st}\right]}=\\=\frac{5\cdot(-1)}{(-1+3)}e^{-1t}+\frac{5\cdot(-3)}{(-3+1)}e^{-3t}=-2,5e^{-t}+7,5e^{-3t}\)

 

 Funkcja operatorowa F(s) dana jest wzorem
\(F(s)=\frac{10}{(s+3)^2(s+4)}\)

Występują 3 bieguny funkcji, z których jeden jest pojedynczy a dwa pozostałe równe sobie (jeden biegun podwójny): s1=s2=-3, s3=-4. Wykorzystując wzory (3.20) i (3.21) otrzymuje się następujący schemat obliczeń

\(f(t)=res_{s=s_1=s_2}\left[F(s)e^{st}\right]+res_{s=s_3}\left[F(s)e^{st}\right]=\)

\(=\frac{1}{(2-1)!}{lim}_{s\rightarrow-3}{\frac{d}{ds}}\left[F(s)(s+3)^2e^{st}\right]+{lim}_{s\rightarrow-4}{\left[F(s)(s+4)e^{st}\right]}=\)

\(={lim}_{s\rightarrow-3}{\frac{d}{ds}}\left[\frac{10}{s+4}e^{st}\right]+{lim}_{s\rightarrow-4}{\left[\frac{10}{(s+3)^2}e^{st}\right]}=10\left[te^{-3t}-e^{-3t}\right]+10e^{-4t}\)