Podręcznik

Obliczyć transformatę odwrotną Laplace’a dla funkcji F(s) danej w postaci

$F(s)=\frac{1}{s^2+s+1}$

Wobec zespolonych pierwiastków mianownika wykorzystamy tablicę transformat 3.1. Porównanie postaci danej transformaty z danymi zawartymi w tablicy wskazuje, że należy ją doprowadzić do postaci transformaty odpowiadającej funkcji sinusoidalnej tłumionej wykładniczo (wiersz 6 w tablicy). Kolejność czynności jest tu następująca

$F(s)=\sqrt{4/3}\frac{\sqrt{3/4}}{\left(s+0,5\right)^2+\left(\sqrt{3/4}\right)^2}$

Porównanie tej postaci z wierszem szóstym tablicy 3.1 pokazuje, że $\alpha=0,5 a \omega=\sqrt{3/4}$. Funkcja oryginału jest więc określona wzorem

$f(t)=\sqrt{4/3}e^{-0,5t}sin{(}\sqrt{3/4}t)$

 

 Jako przykład drugi rozpatrzymy transformatę trzeciego rzędu o biegunach zespolonych. 

$F(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s^2+2s+10)}$

W tym przypadku przed zastosowaniem metody tablicowej należy najpierw rozłożyć funkcję zadaną na składniki o rzędach nie większych niż drugi. Ogólną postać rozkładu zapiszemy w następującej formie

$F(s)=\frac{A}{(s+1)}+\frac{Bs+C}{(s^2+2s+10)}$

Współczynniki A, B i C rozkładu należy wyznaczyć w taki sposób, aby obie strony zależności równały się sobie. Współczynnik A można wyznaczyć stosując metodę residuum, zgodnie z którą

$A=res_{s=-1} F( s) =\underset{s\rightarrow -1}{lim\ F( s)( s+1) =\dfrac{2}{9}}$

Wobec zespolonych wartości biegunów drugiego składnika rozkładu współczynniki B i C najlepiej jest wyznaczyć jako różnicę funkcji zadanej F(s) i składnika pierwszego rzędu, to jest

$\frac{Bs+C}{(s^2+2s+10)}=\frac{s+3}{(s+1)(s^2+2s+10)}-\frac{2/9}{(s+1)}=\frac{-2}{9}\frac{s+7/2}{s^2+2s+10}$

Stąd funkcja zadana F(s) może być zapisana w postaci

$F(s)=\frac{2/9}{(s+1)}-\frac{2}{9}\frac{s+7/2}{s^2+2s+10}$

Ze względu na liniowość przekształcenia Laplace’a transformata odwrotna sumy jest równa sumie transformat odwrotnych każdego składnika oddzielnie. Pierwszy składnik sumy odpowiada trzeciemu wierszowi tablicy 3.1. Stąd

$L^{-1}\left\{\frac{2/9}{(s+1)}\right\}=\frac{2}{9}e^{-t}$

Składnik drugi wymaga wykonania wstępnych przekształceń doprowadzających jego postać do wierszy szóstego i siódmego tablicy 3.1. W efekcie tych przekształceń otrzymuje się

$-\frac{2}{9}\frac{s+7/2}{s^2+2s+10}=-\frac{2}{9}\frac{(s+1)+3\cdot5/6}{(s+1)^2+3^2}=-\frac{2}{9}\frac{(s+1)}{(s+1)^2+3^2}--\frac{5}{27}\frac{3}{(s+1)^2+3^2}$

Transformata odwrotna tego wyrażenia może być zatem zapisana w postaci

$L^{-1}\left\{-\frac{2}{9}\frac{s+7/2}{s^2+2s+10}\right\}=L^{-1}\left\{-\frac{2}{9}\frac{(s+1)}{(s+1)^2+3^2}-\frac{5}{27}\frac{3}{(s+1)^2+3^2}\right\}=$ $=-\frac{2}{9}e^{-t}cos{(}3t)-\frac{5}{27}e^{-t}sin{(}3t)$

Stąd na mocy twierdzenia o liniowości transformata odwrotna Laplace’a zadanej funkcji F(s) jest sumą transformat odwrotnych obu składników rozkładu

$L^{-1}\left\{F(s)\right\}=\frac{2}{9}e^{-t}-\frac{2}{9}e^{-t}cos{(}3t)-\frac{5}{27}e^{-t}sin{(}3t)$