Podręcznik

Obliczenia prądów i napięć w stanie nieustalonym obwodu metodą operatorową sprowadzać się będą do wyznaczenia transformaty odpowiedniej wielkości a następnie obliczenia transformaty odwrotnej Laplace’a dla określenia zmiennej w dziedzinie czasu. Do obliczenia transformat prądów i napięć można stosować wszystkie poznane dotąd metody analizy obwodów, w tym metodę równań Kirchhoffa, oczkową, potencjałów węzłowych, Thevenina i Nortona operujące transformatami Laplace’a zamiast wartościami zespolonymi czy wartościami w dziedzinie czasu (dla obwodu rezystancyjnego).
    Podstawowymi zaletami metody operatorowej jest łatwość uwzględnienia niezerowych warunków początkowych (przez wprowadzenie źródeł napięciowych w modelu operatorowym) oraz sprowadzenie operacji różniczkowych do działań algebraicznych. 
W ogólności rozwiązując stan nieustalony w obwodzie metodą operatorową należy wyróżnić kilka etapów.

1. Określenie warunków początkowych w obwodzie, poprzez wyznaczenie rozwiązania ustalonego obwodu przed przełączeniem i obliczenie wartości napięć na kondensatorach i prądów cewek w chwili \(t=0^-\), to jest \(i_L (0^-)\) oraz \(u_C (0^-)\)
2. Określenie rozwiązania obwodu w stanie ustalonym po przełączeniu przy zastosowaniu metody symbolicznej z wykorzystaniem dowolnej metody analizy. Wynikiem jest postać czasowa rozwiązania ustalonego prądów cewek \(i_Lu (t)\) i napięć kondensatorów \(u_Cu (t)\). Przez założenie t=0 otrzymuje się wartości prądów i napięć w chwili początkowej, to jest \(i_Lu (0^+)\) oraz \(u_Cu (0^+)\).
3. Określenie rozwiązania obwodu w stanie przejściowym po przełączeniu przy zastosowaniu metody operatorowej. Dla otrzymania takiego rozwiązania należy wykonać następujące etapy:

• utworzenie schematu obwodu dla składowej przejściowej poprzez wyeliminowanie źródeł zewnętrznych wymuszających (zwarcie źródeł napięcia i rozwarcie źródeł prądu); obwód rzeczywisty dla składowej przejściowej w dziedzinie czasu nie zawiera żadnych źródeł wymuszających
• określenie warunków początkowych dla składowej przejściowej przy wykorzystaniu praw komutacji, zgodnie z którymi \(x(0^-)=x_u (0^+)+x_p (0^+)\); z równania tego wynikają następujące wzory na warunki początkowe dla składowych przejściowych prądu cewki i napięcia kondensatora

• utworzenie schematu operatorowego obwodu w stanie przejściowym poprzez zastąpienie elementów rzeczywistych obwodu ich modelami operatorowymi dla składowej przejściowej i rozwiązanie obwodu względem poszukiwanych prądów i napięć operatorowych
• wyznaczenie transformaty odwrotnej Laplace’a dla poszukiwanych wielkości przejściowych określonych w punkcie poprzednim; w wyniku otrzymuje się i\(i_Lp (t) \) oraz \(u_Cp (t).\)

4. Określenie rozwiązania obwodu w stanie przejściowym po przełączeniu przy zastosowaniu metody operatorowej. Dla otrzymania takiego rozwiązania należy wykonać następujące etapy:

Składowa przejściowa zanika z czasem do zera i pozostaje jedynie składowa ustalona określająca przebieg wielkości w stanie ustalonym. Taka metodyka rozwiązania stanów nieustalonych przy zastosowaniu transformacji Laplace’a nosi nazwę metody superpozycji stanów, gdyż rozdziela w sposób jawny stan ustalony od stanu przejściowego. Jest szczególnie zalecana przy wymuszeniach sinusoidalnych, choć obowiązuje również dla obwodów prądu stałego. Zaletą takiego podejścia jest jej uniwersalność i stosowalność do każdego obwodu liniowego RLC niezależnie od rodzaju wymuszenia (wymuszenia stałe lub sinusoidalne mają jedynie wpływ na stan ustalony i są wyeliminowane przy rozwiązywaniu stanu przejściowego). 
 Należy podkreślić, że rozbicie stanu nieustalonego na ustalony i przejściowy jest zalecane jedynie przy istnieniu wymuszeń sinusoidalnych w obwodzie po przełączeniu. Jeśli źródła takie nie występują schemat operatorowy może dotyczyć obwodu całkowitego, bez rozbijania go na schemat dla składowej ustalonej i przejściowej. W takim przypadku pozostawia się zewnętrzne źródła wymuszające w obwodzie przyjmując ich model operatorowy, czyli zastępując postać czasową źródła (wartość stała A przy wymuszeniu stałym) przez funkcję \(\frac{A}{s}\). Warunki początkowe również nie podlegają modyfikacji, co oznacza, że \(i_L (0^+)=i_L (0^-)\) oraz \(u_C (0^+)=u_C (0^-)\).

Wyznaczyć przebieg czasowy napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym w obwodzie z rys. 4.4 po przełączeniu. Dane liczbowe parametrów obwodu są następujące: \(R_1=R_2=1Ω\), \(L=1H\), \(C=1F\), \(e_2 (t)=10V\). Źródło wymuszające sinusoidalne dane jest w następującej postaci \(e_1 (t)=5√2  sin⁡( t+π/4) V\).
 

Rys. 4.4. Schemat obwodu do przykładu 4.10.

Rozwiązanie
W rozwiązaniu problemu wyznaczymy najpierw warunki początkowe w obwodzie rozwiązując stan ustalony przed przełączeniem. Ponieważ przed przełączeniem w obwodzie występowały dwa źródła: stałe i sinusoidalne w obliczeniu warunków początkowych (stan ustalony przed przełączeniem) należy zastosować metodę superpozycji źródeł. 

Rys. 4.5 Schematy obwodu: a) w stanie ustalonym przed przełączeniem (źródło sinusoidalne), b) w stanie ustalonym przed przełączeniem (źródło stałe), c) w stanie ustalonym po przełączeniu,
d) schemat operatorowy dla składowej przejściowej

Schemat obwodu w stanie ustalonym przed przełączeniem przy wymuszeniu sinusoidalnym przedstawiony jest na rys. 4.5a. Wobec rezonansu równoległego w gałęzi LC prąd wydawany przez źródło jest równy zeru a napięcie na tej gałęzi jest równe napięciu źródła. Stąd 

\(u_{Cu}^{(1)}(t)=5\sqrt2sin{(}t+\pi/4)\)

Prąd cewki (wartość skuteczna zespolona) dany jest wzorem

\(I_{Lu}^{(1)}=\frac{5e^{j\pi/4}}{j1}=5e^{-j\pi/4}\)

co odpowiada postaci czasowej 

\(i_{Lu}^{(1)}(t)=5\sqrt2sin{(}t-\pi/4)\)

Uwzględniając źródło stałe e2(t) uzyskuje się znaczne uproszczenie obwodu (cewka dla prądu stałego w stanie ustalonym stanowi zwarcie a kondensator przerwę) jak to przedstawiono na rys. 4.5b. Rozwiązanie na prąd cewki i napięcie kondensatora ma więc postać: 

\(u_{Cu}^{(2)}(t)=0\)

\(i_{Lu}^{(2)}(t)=\frac{10}{1}=10\)

Dokonując superpozycji obu rozwiązań otrzymuje się

\(i_{Lu}(t)=i_{Lu}^{(1)}(t)+i_{Lu}^{(2)}(t)=10+5\sqrt2sin{(}t-\pi/4)\)

\(u_{Cu}(t)=u_{Cu}^{(1)}(t)+u_{Cu}^{(2)}(t)=5\sqrt2sin{(}t+\pi/4)\)

Stąd warunki początkowe są następujące: \( u_C(0^-)=5\), \(i_L(0^-)=5\).
Po przełączeniu w obwodzie pozostaje jedynie źródło sinusoidalne e₂(t). Schemat obwodu dla tego wymuszenia pokazany jest na rys. 4.5c. Z analizy tego obwodu wynika następująca procedura rozwiązania. Wobec rezonansu równoległego w gałęzi LC prąd wydawany przez źródło jest równy zeru a napięcie na tej gałęzi jest równe napięciu źródła. Stąd 

\(u_{Cu}(t)=5\sqrt2sin{(}t+\pi/4)\)

Prąd cewki (wartość skuteczna zespolona) dany jest wzorem

\(I_{Lu}=\frac{5e^{j45^\circ}}{j1}=5e^{-j\pi/4}\)

co odpowiada postaci czasowej 

\(i_{Lu}(t)=5\sqrt2sin{(}t-\pi/4)\)

Stan początkowy dla składowej ustalonej prądu cewki i napięcia kondensatora przyjmuje więc następujące wartości:

\(u_{Cu}(0^+)=5\)

oraz

\(i_{Lu}(0^+)=-5\)

Warunki początkowe dla składowej przejściowej prądu i napięcia są zatem równe:

\(u_{Cp}(0^+)=u_C(0^-)-u_{Cu}(0^+)=0\)

\(i_{Lp}(0^+)=i_L(0^-)-i_{Lu}(0^+)=10\)

Schemat operatorowy obwodu przedstawiono na rys. 4.5d (źródło wewnętrzne przy kondensatorze nie występuje, bo \(u_{Cp}(0^+)=0\). Zastosowanie metody potencjałów węzłowych do wyznaczenia postaci operatorowej rozwiązania prowadzi do wyniku 

\(U_{Cp}(s)=\frac{-\frac{10}{s}}{s+\frac{1}{s}+0,5}=\frac{-10}{s^2+0,5s+1}\)

Wobec zespolonych wartości własnych (pierwiastków mianownika transformaty napięcia) w wyznaczaniu oryginału zastosujemy metodę wykorzystującą tablice transformat. W związku z powyższym transformatę przedstawimy w postaci przekształconej

\(U_{Cp}(s)=\frac{-10}{s^2+0,5s+1}=-\frac{\left(\sqrt{\frac{15}{16}}\right)\cdot10\cdot\sqrt{\frac{16}{15}}}{\left(s+0,25\right)^2+\left(\sqrt{\frac{15}{16}}\right)^2}=-10,33\frac{\left(\sqrt{\frac{15}{16}}\right)}{\left(s+0,25\right)^2+\left(\sqrt{\frac{15}{16}}\right)^2}\)

Powyższej funkcji operatorowej można przyporządkować następującą postać czasową (patrz wiersz szósty tablicy 12.1)

\(u_{Cp}(t)=-10,33e^{-0,25t}sin{\left(\sqrt{\frac{15}{16}}t\right)}\)

Rozwiązanie całkowite określające napięcie kondensatora jest sumą składowej ustalonej i przejściowej

\(u_C(t)=u_{Cu}(t)+u_{Cp}(t)=5\sqrt2sin{(}t+\pi/4)-10,33e^{-0,25t}sin{\left(\sqrt{\frac{15}{16}}t\right)}\)

Składowa przejściowa zanika z biegiem czasu ze stałą czasową \(\tau=4\) i po około 5 stałych czasowych pozostaje jedynie składowa ustalona sinusoidalna.