Podręcznik: Przypadek aperiodyczny

5. Stan nieustalony w obwodzie RLC przy załączeniu napięcia stałego

5.2. Przypadek aperiodyczny

Rozpatrzymy najpierw przypadek pierwszy (aperiodyczny). Ze względu na to, że oba bieguny są rzeczywiste w obliczeniach transformaty odwrotnej najwygodniej jest zastosować metodę residuów. Zgodnie z nią przebieg czasowy prądu i(t) można zapisać w postaci

$i(t)=\frac{E}{2L\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}}\left[e^{s_1t}-e^{s_2t}\right]$

(5.7)

Podstawiając wartości s₁ i s₂ określone wzorami (5.5) i (5.6) otrzymuje się postać hiperboliczną rozwiązania na prąd cewki w stanie nieustalonym

$i(t)=\frac{E}{L\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}}e^{-\frac{R}{2L}t}sh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}t\right)$

(5.8)

We wzorze występuje czynnik tłumiący typu wykładniczego $e^{-\frac{R}{2L}t}$ . Wielkość $\alpha=\frac{R}{2L}$ nazywana jest współczynnikiem tłumienia. Jej wartość jest proporcjonalna do wartości rezystancji. Im większa rezystancja tym większe tłumienie w obwodzie.
W podobny sposób wyznaczyć można pozostałe przebiegi czasowe w obwodzie: napięcie cewki i kondensatora. Transformata napięcia na kondensatorze wyrażona jest wzorem

$U_C(s)=\frac{1}{sC}I(s)=\frac{E}{LC}\frac{1}{s\left(s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}\right)}$

(5.9)

Po zastosowaniu wzoru na residuum otrzymujemy

$u_C(t)=E+\frac{E}{2\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}}\left(s_2e^{s_1t}-s_1e^{s_2t}\right)$

(5.10)

Obliczenie napięcia cewki w stanie nieustalonym może być uzyskane bezpośrednio z postaci czasowej poprzez różniczkowanie zależności na prąd cewki. Po wykonaniu odpowiednich działań otrzymuje się

$u_L(t)=L\frac{di}{dt}=\frac{E}{2\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}}\left[s_1e^{s_1t}-s_2e^{s_2t}\right]$

(5.11)

Na rys. 5.3 przedstawiono przebiegi prądu, napięcia na kondensatorze i cewce w stanie nieustalonym w obwodzie RLC dla R = 2,3W, C = 1F i L = 1H przy załączeniu napięcia stałego E = 1V. Dla przyjętych wartości parametrów elementów mamy do czynienia z przypadkiem aperiodycznym.

Rys. 5.3. Przebiegi prądu i napięć w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego

Prąd w obwodzie oraz napięcie na kondensatorze zachowują ciągłość i spełniają prawa komutacji. W stanie ustalonym prąd w obwodzie nie płynie (kondensator w stanie ustalonym stanowi przerwę) a napięcie na kondensatorze przyjmuje wartość napięcia zasilającego E. Zauważmy ponadto, że wartości maksymalnej prądu odpowiada zerowa wartość napięcia na cewce $(u_L(t)=L\frac{di}{dt})$ . W chwili, gdy napięcie na cewce osiąga wartość maksymalną ujemną, w przebiegu napięcia na kondensatorze można zauważyć punkt przegięcia.
Na rys. 5.4 przedstawiono wykresy przebiegów ładowania kondensatora w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego opisanego wzorem (5.10) dla 3 różnych wartości współczynnika tłumienia $\alpha=\frac{R}{2L}$ .

Rys. 5.4. Przebiegi napięć na kondensatorze dla różnej wartości współczynnika tłumienia

Jak widać, im większa jest wartość tego współczynnika, tym dłużej trwa dochodzenie do stanu ustalonego. Interesujące jest porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RLC w stanie aperiodycznym (wzór 5.10) oraz w obwodzie RC. Napięcie i prąd kondensatora w obwodzie RC, jak zostało pokazane w lekcji jedenastej opisane są funkcjami $u_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)$ , $i_C(t)=\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$ . Na rys. 5.5 przedstawiono przebiegi napięcia na kondensatorze (rys. 5.5a) oraz prądu (rys. 5.5b).

Rys. 5.5 Porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RC i RLC

W napięciu $uC(t)$ w obwodzie RLC widoczny jest łagodnie narastający przebieg z punktem przegięcia. Prąd ładowania kondensatora, będący jednocześnie prądem cewki, narasta od wartości zerowej z zachowaniem ciągłości, a więc spełniając warunki nakładane przez prawa komutacji. W obwodzie RC widoczny jest gwałtowny skok prądu w chwili przełączenia (prawa komutacji nie dotyczą prądu kondensatora).