Podręcznik
5. Stan nieustalony w obwodzie RLC przy załączeniu napięcia stałego
5.2. Przypadek aperiodyczny
Rozpatrzymy najpierw przypadek pierwszy (aperiodyczny). Ze względu na to, że oba bieguny są rzeczywiste w obliczeniach transformaty odwrotnej najwygodniej jest zastosować metodę residuów. Zgodnie z nią przebieg czasowy prądu i(t) można zapisać w postaci
(5.7) |
Podstawiając wartości s1 i s2 określone wzorami (5.5) i (5.6) otrzymuje się postać hiperboliczną rozwiązania na prąd cewki w stanie nieustalonym
(5.8) |
We wzorze występuje czynnik tłumiący typu wykładniczego . Wielkość nazywana jest współczynnikiem tłumienia. Jej wartość jest proporcjonalna do wartości rezystancji. Im większa rezystancja tym większe tłumienie w obwodzie.
W podobny sposób wyznaczyć można pozostałe przebiegi czasowe w obwodzie: napięcie cewki i kondensatora. Transformata napięcia na kondensatorze wyrażona jest wzorem
(5.9) |
Po zastosowaniu wzoru na residuum otrzymujemy
(5.10) |
Obliczenie napięcia cewki w stanie nieustalonym może być uzyskane bezpośrednio z postaci czasowej poprzez różniczkowanie zależności na prąd cewki. Po wykonaniu odpowiednich działań otrzymuje się
(5.11) |
Na rys. 5.3 przedstawiono przebiegi prądu, napięcia na kondensatorze i cewce w stanie nieustalonym w obwodzie RLC dla R = 2,3W, C = 1F i L = 1H przy załączeniu napięcia stałego E = 1V. Dla przyjętych wartości parametrów elementów mamy do czynienia z przypadkiem aperiodycznym.
Rys. 5.3. Przebiegi prądu i napięć w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego
Prąd w obwodzie oraz napięcie na kondensatorze zachowują ciągłość i spełniają prawa komutacji. W stanie ustalonym prąd w obwodzie nie płynie (kondensator w stanie ustalonym stanowi przerwę) a napięcie na kondensatorze przyjmuje wartość napięcia zasilającego E. Zauważmy ponadto, że wartości maksymalnej prądu odpowiada zerowa wartość napięcia na cewce . W chwili, gdy napięcie na cewce osiąga wartość maksymalną ujemną, w przebiegu napięcia na kondensatorze można zauważyć punkt przegięcia.
Na rys. 5.4 przedstawiono wykresy przebiegów ładowania kondensatora w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego opisanego wzorem (5.10) dla 3 różnych wartości współczynnika tłumienia .
Rys. 5.4. Przebiegi napięć na kondensatorze dla różnej wartości współczynnika tłumienia
Jak widać, im większa jest wartość tego współczynnika, tym dłużej trwa dochodzenie do stanu ustalonego. Interesujące jest porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RLC w stanie aperiodycznym (wzór 5.10) oraz w obwodzie RC. Napięcie i prąd kondensatora w obwodzie RC, jak zostało pokazane w lekcji jedenastej opisane są funkcjami , . Na rys. 5.5 przedstawiono przebiegi napięcia na kondensatorze (rys. 5.5a) oraz prądu (rys. 5.5b).
Rys. 5.5 Porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RC i RLC
W napięciu w obwodzie RLC widoczny jest łagodnie narastający przebieg z punktem przegięcia. Prąd ładowania kondensatora, będący jednocześnie prądem cewki, narasta od wartości zerowej z zachowaniem ciągłości, a więc spełniając warunki nakładane przez prawa komutacji. W obwodzie RC widoczny jest gwałtowny skok prądu w chwili przełączenia (prawa komutacji nie dotyczą prądu kondensatora).