5. Stan nieustalony w obwodzie RLC przy załączeniu napięcia stałego

5.3. Przypadek aperiodyczny krytyczny

W przypadku aperiodycznym krytycznym, wobec spełnienia relacji \(R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\) oba pierwiastki mianownika są równe i transformata prądu wyraża się wzorem

\(I(t)=\frac{E/L}{\left(s+\frac{R}{2L}\right)^2}\) (5.12)

Zastosowanie wzoru na residuum dla pierwiastka podwójnego \(s_1=s_2=-\frac{R}{2L}=-\alpha\) prowadzi do następującej postaci prądu cewki \(i(t)\)

\(i(t)=\frac{E}{L}te^{-\frac{R}{2L}t}\) (5.13)

W analogiczny sposób można wyznaczyć pozostałe przebiegi (napięcia kondensatora i cewki) dla stanu aperiodycznego krytycznego. W przypadku napięcia na cewce bezpośrednio poprzez różniczkowanie funkcji czasowej prądu otrzymuje się

\(u_L(t)=L\frac{di}{dt}=Ee^{-\frac{R}{2L}t}\left(1-\frac{R}{2L}t\right)\) (5.14)

Napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym można uzyskać bezpośrednio z prawa napięciowego Kirchhoffa napisanego dla obwodu z rys. 5.1 po przełączeniu. Mianowicie

\(u_C(t)=E-Ri_L(t)-u_L(t)=E-Ee^{-\frac{R}{2L}t}\left(1+\frac{R}{2L}t\right)\) (5.15)

Na rys. 5.6 przedstawiono przebieg ładowania kondensatora w stanie aperiodycznym krytycznym na tle przypadku aperiodycznego. 

Rys. 5.6. Porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego i aperiodycznego krytycznego

Jedyna różnica występuje w czasie trwania stanu przejściowego, który najszybciej zanika dla przypadku krytycznego. Charakter przebiegu prądu i napięć w obwodzie dla przypadku aperiodycznego krytycznego jest podobny do zwykłego przypadku aperiodycznego, z tym, że najszybciej uzyskiwany jest stan ustalony (stan przejściowy trwa najkrócej z możliwych).