Podręcznik: Transmitancja operatorowa obwodów RLC

1. Transmitancja operatorowa obwodu

1.6. Transmitancja operatorowa obwodów RLC

Przy wyznaczaniu transmitancji operatorowej obwodu zawierającego rezystancje, indukcyjności, indukcyjności sprzężone i pojemności wykorzystuje się model operatorowy poszczególnych elementów R, L, C i M wprowadzony w lekcji poprzedniej. Przy założeniu zerowych warunków początkowych dla indukcyjności i pojemności modele tych elementów nie zawierają źródeł a jedynie impedancje operatorowe Z(s). Zestaw impedancji operatorowych dla elementów pasywnych przedstawiono w tablicy 1.1

Tablica 1.1 Impedancje operatorowe przyporządkowane elementom pasywnym

Element	Impedancja operatorowa
Rezystancja R	$Z_R=R$
Indukcyjność własna L	$Z_L=sL$
Indukcyjność wzajemna ±M	$Z_M=\pm sM$
Pojemność C	$Z_C=\frac{1}{sC}$

Dla obwodów pasywnych zawierających elementy R, L, C i M obliczenie transmitancji operatorowej polega na zastąpieniu elementu rzeczywistego poprzez ich impedancje operatorowe a następnie wykorzystując dowolną metodę analizy (metoda praw Kirchhoffa, węzłowa, oczkowa, Thevenina, Nortona) należy wyznaczyć odpowiedź operatorową w funkcji wymuszenia. Wobec liniowości obwodu każda jego odpowiedź (dowolny prąd i dowolne napięcie) jest liniową funkcją wymuszenia. Obliczając transmitancję dzieli się odpowiedź przez wymuszenie, w wyniku czego zmienna będąca wymuszeniem ulega redukcji i w efekcie transmitancja zależy wyłącznie od parametrów RLC obwodu oraz źródeł sterowanych, będąc jednocześnie funkcją zmiennej zespolonej s. Metodę wyznaczania transmitancji operatorowej zilustrujemy na przykładzie obwodu LC przedstawionego na rys. 1.3.

1.1

Należy wyznaczyć transmitancję napięciową obwodu przedstawionego na rys. 1.2a, zakładając, że napięcie wyjściowe pochodzi z elementów L i C połączonych równolegle.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.3. Schematy obwodów do wyznaczania transmitancji: a) obwód oryginalny, b) schemat operatorowy obwodu

Rozwiązanie

Schemat operatorowy obwodu do wyznaczenia transmitancji przedstawiony jest na rys. 1.2b (warunki początkowe są z definicji zerowe). Zastępując cewkę i kondensator połączone równolegle jedną impedancją zastępczą $Z_{LC}(s)$

$Z_{LC}(s)=\frac{sL\cdot\frac{1}{sC}}{sL+\frac{1}{sC}}=\frac{\frac{1}{C}s}{s^2+\frac{1}{LC}}$

i stosując prawo napięciowe Kirchhoffa do tak uproszczonego obwodu, otrzymuje się

$U_2(s)=\frac{Z_{LC}(s)}{Z_{LC}(s)+sL_1}U_1(s)$

Po prostych przekształceniach uzyskuje się wynik na transmitancję napięciową w postaci

$T_u(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=\frac{Z_{LC}(s)}{Z_{LC}(s)+sL_1}=\frac{\frac{1}{L_1C}s}{s^3+s\left(\frac{1}{L_1C}+\frac{1}{LC}\right)}=\frac{\frac{1}{L_1C}}{s^2+\left(\frac{1}{L_1C}+\frac{1}{LC}\right)}$

W ostatecznym wyrażeniu na transmitancję operatorową zmienna stanowiąca wymuszenie nie występuje (uległa redukcji). Przyjmijmy następujące wartości elementów obwodu: L = 1H, L₁ = 0,5H, C = 1F (wartości znormalizowane). Podstawiając je do wzoru na T_u(s) otrzymujemy

$T_u(s)=\frac{2}{s^2+3}$

Jest to tak zwana postać wymierna, zawierająca wielomian zmiennej zespolonej s zarówno w liczniku (stopień równy zeru) jak i w mianowniku (stopień równy dwa).

W ogólnym przypadku obwodu elektrycznego liniowego zawierającego rezystory, cewki i kondensatory oraz źródła sterowane dowolna transmitancja operatorowa ma postać funkcji wymiernej o stopniu licznika równym m i stopniu mianownika równym n

$T(s)=\frac{L(s)}{M(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}$

(1.7)

Współczynniki a_i mianownika oraz b_i licznika są funkcjami parametrów elementów obwodu i dla ich konkretnych wartości przyjmują wartości rzeczywiste. Najwyższy stopień wielomianu jest równy (w szczególnych przypadkach mniejszy) liczbie elementów reaktancyjnych (cewek i kondensatorów) obwodu. Najczęściej w obwodach występujących w praktyce stopień mianownika jest nie mniejszy niż stopień licznika.

Pojęcie impedancji operatorowej jest uogólnieniem impedancji zespolonej elementów stosowanej w metodzie symbolicznej przy analizie stanów ustalonych w obwodzie zawierającym wymuszenia sinusoidalne. Łatwo pokazać to zakładając $s=j\omega$ we wzorach określających odpowiednie impedancje operatorowe. Dla elementów indukcyjnych i pojemnościowych przy założeniu $s=j\omega$ otrzymuje się następujące zależności

$Z_L(s)\left\|\right._{s=j\omega}=j\omega L=Z_L(j\omega)$	(1.8)
$Z_M(s)\left\|\right._{s=j\omega}=\pm j\omega M=Z_M(j\omega)$	(1.9)
$Z_C(s)\left\|\right._{s=j\omega}=\frac{1}{j\omega C}=Z_C(j\omega)$	(1.10)

Impedancje $Z(j\omega)$ reprezentują impedancje symboliczne elementów RLC, obowiązujące w analizie stanów ustalonych przy wymuszeniach sinusoidalnych. Założenie $s=j\omega$ upraszcza zatem opis obwodu w stanie nieustalonym do opisu obwodu w stanie ustalonym przy założeniu wymuszenia sinusoidalnego.