1. Transmitancja operatorowa obwodu

1.7. Związek transmitancji operatorowej z opisem stanowym układu

Jak zostało pokazane w lekcji dziesiątej obwody liniowe RLC mogą być opisane w dziedzinie zmiennych stanu poprzez równanie stanu, którego postać macierzowa jest następująca

\(\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{Ax}+\mathbf{Bu}\) (1.11)

Zmienna x jest wektorem zmiennych stanu, u wektorem wymuszeń napięciowych i prądowych występujących w obwodzie, A jest macierzą stanu a B – macierzą wymuszeń. Jeśli zbiór sygnałów wyjściowych obwodu oznaczymy w postaci wektora y, to można je wyrazić jako kombinację liniową zmiennych stanu oraz wymuszeń. Oznacza to, że wektor wyjściowy y może być zapisany w postaci macierzowej

\(\mathbf y=\mathbf{Cx}+\mathbf{Du}\) (1.12)

Wielkości C i D występujące we wzorze stanowią również macierze o odpowiednich wymiarach.

W stosunku do opisu macierzowego (1.11) i (1.12) zastosujemy przekształcenie Laplace’a. Przy założeniu zerowych warunków początkowych i uwzględnieniu własności przekształcenia dotyczącej transformaty pochodnej, z równania (1.11) otrzymuje się

\(s\mathbf{X}(s)=\mathbf{AX}(s)+\mathbf{BU}(s)\) (1.13)

Stąd

\(\mathbf X(s)=(s \mathbf 1-\mathbf A)^{-1}+\mathbf{BU}(s)\) (1.14)

Poddając również drugie równanie stanu (1.12) przekształceniu Laplace’a otrzymuje się

\(\mathbf Y(s)=\mathbf{CX}(s)+\mathbf{DU}(s)\) (1.15)

Po uwzględnieniu zależności (1.14) otrzymuje się

\(\mathbf Y(s)=\mathbf C(s \mathbf 1-\mathbf A)^{-1}\mathbf{BU}(s)+\mathbf{DU}(s)=\left[\mathbf C(s \mathbf 1-\mathbf A)^{-1}\mathbf B+\mathbf D\right]\mathbf U(s)\) (1.16)

Przy uwzględnieniu jednego wejścia (wymiar wektora u równy jeden) i jednego wyjścia (wymiar wektora y równy także jeden) wektor wyjściowy Y(s) staje się skalarem Y(s), podobnie jak wymuszenie U(s). Transmitancja operatorowa jest więc określona w postaci

\(T(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\left[\mathbf{C}\left(s\mathbf{1}-\mathbf{A}\right)^{-1}\mathbf{B}+D\right]\) (1.17)

We wzorze tym macierz D uprościła się do skalara. Zauważmy, że mianownik transmitancji operatorowej jest równy wielomianowi charakterystycznemu macierzy A, to jest

\(M(s)=det{(}s\mathbf{1}-\mathbf{A})\) (1.18)

Pierwiastki tego mianownika (bieguny układu) są tożsame z wartościami własnymi macierzy stanu A. Wzór (1.17) stanowi związek między opisem stanowym układu a opisem operatorowym transmitancyjnym.

1.2

Wyznaczyć opis transmitancyjny układu opisanego następującymi macierzami stanu

\(\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}-5&1\\2&-3\\\end{matrix}\right]\), \(\mathbf{B}=\left[\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right]\), \(\mathbf{C}=\left[\begin{matrix}1&6\\\end{matrix}\right]\), \(D=2\)

 

Rozwiązanie

Na podstawie wzoru (1.17) otrzymuje się

\(T(s)=\left[\mathbf{C}\left(s\mathbf{1}-\mathbf{A}\right)^{-1}\mathbf{B}+D\right]=\frac{2s^2+22s+57}{s^2+8s+13}\)

Wartości własne macierzy stanu, będące również biegunami układu są równe s1=-5,73, s2=-2,27.