1. Transmitancja operatorowa obwodu

1.10. Odpowiedź skokowa

Odpowiedzią skokową układu nazywamy odpowiedź czasową tego układu na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego 1(t) przy zerowych warunkach początkowych obwodu. Biorąc pod uwagę, że transformata Laplace’a funkcji jednostkowej 1(t) jest równa 1/s otrzymuje się

\(T(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{Y(s)}{1/s}\rightarrow\ Y(s)=\frac{1}{s}T(s)\) (1.21)

Odpowiedź skokowa jest transformatą odwrotną Laplace’a sygnału Y(s). Stąd

\(y(t)=L^{-1}\left[Y(s)\right]=L^{-1}\left[\frac{1}{s}T(s)\right]\) (1.22)

Odpowiedź skokowa układu jest więc transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej T(s) tego układu, podzielonej przez zmienną zespoloną s. Podobnie jak odpowiedź impulsowa odpowiedź skokowa jest określona w pełni przez transmitancję operatorową T(s) układu.

 

1.3

Dla zilustrowania rozważań teoretycznych obliczmy odpowiedź impulsową i skokową układu o zadanej transmitancji operatorowej

\(T(s)=\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s+5\right)}\)

 

Rozwiązanie

Stosując metodę residuów dla zadanej postaci transmitancji T(s) otrzymujemy:

  • odpowiedź impulsową

\(h(t)=L^{-1}\left[\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s+5\right)}\right]={lim}_{s\rightarrow-1}{\frac{1}{s+5}}e^{st}+{lim}_{s\rightarrow-5}{\frac{1}{s+1}}e^{st}=\frac{1}{4}e^{-t}-\frac{1}{4}e^{-5t}\)

  • odpowiedź skokową

\(y(t)=L^{-1}\left[\frac{1}{s\left(s+1\right)\left(s+5\right)}\right]=\)

\(={lim}_{s\rightarrow0}{\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s+5\right)}}e^{st}+{lim}_{s\rightarrow-1}{\frac{1}{s\left(s+5\right)}}e^{st}+{lim}_{s\rightarrow-5}{\frac{1}{s\left(s+1\right)}}e^{st}=0,2-0,25e^{-t}+0,05e^{-5t}\)

 

Na rys. 1.3 przedstawiono wykres czasowy odpowiedzi impulsowej (rys. 1.3a) i skokowej (rys. 1.3b) układu o zadanej postaci transmitancji operatorowej T(s).

a)Uzupelnij opis obrazka

b)Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.3 Odpowiedzi a) impulsowa, b) skokowa układu