Podręcznik: Definicje charakterystyk częstotliwościowych

2. Charakterystyki częstotliwościowe układów

2.1. Definicje charakterystyk częstotliwościowych

Charakterystyką częstotliwościową układu nazywać będziemy zależność wartości sygnału wyjściowego tego układu od częstotliwości przy jednostkowym wymuszeniu sinusoidalnym przyłożonym na wejście układu. Charakterystykę tę można wyznaczyć bezpośrednio na podstawie transmitancji operatorowej T(s), oznaczanej również w postaci H(s). Nosi ona nazwę transmitancji widmowej układu. Oznaczmy transmitancję widmową w postaci T(jω). Łatwo pokazać, że jest ona zdefiniowana jako transmitancja operatorowa dla s=jω, to znaczy

$T(j\omega)=T(s)\left.\ \right|_{s=j\omega}$

(2.1)

Transmitancja widmowa reprezentuje sobą liczbę zespoloną będącą funkcją pulsacji $\omega$ . Przedstawiając ją w postaci wykładniczej, to jest $T(j\omega)=\left|T(j\omega)\right|e^{j\varphi(\omega)}$ można zdefiniować dwa rodzaje charakterystyk częstotliwościowych:

charakterystyka amplitudowa przedstawia sobą zależność modułu transmitancji widmowej $T(j\omega)$ od pulsacji $\omega$ (częstotliwości $f$ ), to jest $\left|T(j\omega)\right|$
charakterystyka fazowa określa zależność argumentu transmitancji widmowej $T(j\omega)$ od pulsacji (częstotliwości) to jest $\varphi(\omega)$ . Charakterystyka fazowa reprezentuje sobą przesunięcie fazowe między sygnałem wejściowym a wyjściowym dla danej pulsacji $\omega$ .

Charakterystyki częstotliwościowe przedstawia się zwykle na wykresie modułu lub fazy w zależności od pulsacji (częstotliwości). Jeśli wielkości podlegające wykreślaniu różnią się znacznie pod względem wartości (np. zmieniają się w zakresie od 1 do 10⁶) wygodnie jest wprowadzić skalę logarytmiczną zwykle o podstawie 10. Dotyczy to określonego zakresu częstotliwości. W przypadku charakterystyki amplitudowej skalę logarytmiczną przelicza się na decybele (dB) definiując logarytmiczną charakterystykę amplitudową

$20{log}_{10}{\left(\left|T(j\omega)\right|\right)}$

(2.2)

Na rys. 2.1 przedstawiono przykładowo charakterystykę amplitudową (rys. 2.1a) oraz logarytmiczną charakterystykę amplitudową (rys. 2.1b) odpowiadającą tej samej transmitancji danej wzorem

$T(s)=\frac{0.003s^4+0.082s^2+0.287}{s^4+0,945s^3+1,487s^2+0,778s+0,322}$

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.1. Postać liniowa (a) oraz logarytmiczna (b) charakterystyki amplitudowej odpowiadającej transmitancji T(s)

Każdy rodzaj przedstawienia charakterystyki amplitudowej podkreśla inne szczegóły w jej przebiegu. Charakterystyka logarytmiczna podkreśla stosunkowo niewielkie w skali globalnej zmiany dynamiczne w tak zwanym paśmie zaporowym, gdzie amplituda sygnału jest bardzo mała w stosunku do pasma przepustowego, podczas gdy skala liniowa uwypukla globalny charakter przebiegu tracąc drobne szczegóły w zakresie częstotliwości gdzie wartości sygnałów są małe.

Jeśli badany zakres częstotliwości jest bardzo szeroki (np. od 1Hz do 1MHz) wygodnie jest wprowadzić skalę logarytmiczną również dla częstotliwości. Charakterystykę fazową wykreśla się zwykle w skali liniowej dla fazy i liniowej lub logarytmicznej dla częstotliwości (pulsacji).

2.1

Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe transmitancji napięciowej układu RL przedstawionego na rys. 2.2a

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.2 Schematy obwodu do przykładu 2.1: a) schemat rzeczywisty, b) postać operatorowa obwodu

Rozwiązanie

Zastępując elementy rzeczywiste poprzez ich impedancje operatorowe otrzymuje się kolejno:

$U_2(s)=\frac{R}{R+sL}U_1(s)=\frac{R/L}{s+R/L}U_1(s)$

$T(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=\frac{R/L}{s+R/L}$

Podstawiając s=jω do powyższej zależności otrzymuje się

$T(j\omega)=\frac{R/L}{j\omega+R/L}=\frac{R/L}{\sqrt{\omega^2+\left(R/L\right)^2}}e^{-jarctg{\left(\omega L/R\right)}}$

Charakterystyka amplitudowa układu określona jest więc zależnością

$\left|T(j\omega)\right|=\frac{R/L}{\sqrt{\omega^2+\left(R/L\right)^2}}$

a charakterystykę fazową opisuje wzór

$\varphi(\omega)=-arctg{(}\omega\ L/R)$

Rys. 2.3 przedstawia wykresy charakterystyki amplitudowej i fazowej obwodu o wartościach R=1Ω i L=1H w funkcji pulsacji ω.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.3. Wykres charakterystyki amplitudowej i fazowej układu

Charakterystyka amplitudowa wskazuje na dobre (nie tłumione) przenoszenie częstotliwości małych. W miarę wzrostu wartości częstotliwości charakterystyka amplitudowa maleje, co oznacza, że sygnał wyjściowy ma coraz mniejszą amplitudę. Taki obwód ma więc charakter układu dolnoprzepustowego (szeregowo włączona cewka w miarę wzrostu częstotliwości ma coraz większą impedancję tłumiącą przebieg prądu przepływającego przez rezystor wyjściowy).