2. Charakterystyki częstotliwościowe układów

2.11. Charakterystyki częstotliwościowe układu n-tego rzędu

Najbardziej ogólnym przypadkiem jest układ opisany transmitancją operatorową T(s) n-tego rzędu o postaci ogólnej zadanej wzorem

\(T(s)=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}\) (2.33)

 

Transmitancja widmowa T(jω) takiego układu wyznaczana jest z transmitancji operatorowej T(s) przez podstawienie s = jω. W wyniku otrzymuje się

\(T(s=j\omega)=\frac{b_m\left(j\omega\right)^m+b_{m-1}\left(j\omega\right)^{m-1}+...+b_1j\omega+b_0}{a_n\left(j\omega\right)^n+a_{n-1}\left(j\omega\right)^{n-1}+...+a_1j\omega+a_0}\) (2.34)

 

Transmitancja widmowa przedstawia sobą funkcję zespoloną pulsacji ω i może być zapisana w postaci ogólnej jako

\(T(j\omega)=A(\omega)+jB(\omega)\) (2.35)

 

Część rzeczywista A(ω) i urojona B(ω) są funkcjami zarówno współczynników ai, bi licznika i mianownika transmitancji operatorowej, jak i aktualnej wartości pulsacji ω. Charakterystyka amplitudowa przedstawia sobą moduł transmitancji widmowej określony wzorem

\(\left|T(j\omega)\right|=\sqrt{A^2(\omega)+B^2(\omega)}\) (2.36)

 

Charakterystyka fazowa jest fazą transmitancji widmowej i wyznaczana jest z zależności

\(\varphi(\omega)=arctg\left(\frac{B(\omega)}{A(\omega)}\right)\) (2.37)

 

Powyższe zależności tworzą podstawę badania charakterystyk częstotliwościowych układów opisanych transmitancją operatorową T(s) zadawaną przez użytkownika.

Wykorzystując podane wcześniej zależności częstotliwościowe można wykreślić charakterystyki amplitudowe (liniową i logarytmiczną wyrażoną w decybelach) oraz charakterystykę fazową w stopniach.