Podręcznik: Impedancja wejściowa

3. Czwórniki

3.11. Impedancja wejściowa

Określenie funkcji impedancji wejściowej układu czwórnika wymaga ustalenia przy jakiej impedancji obciążenia badany jest czwórnik. Załóżmy w ogólności obciążenie czwórnika impedancją Z_o. Z równań łańcuchowych czwórnika otrzymuje się

$U_1(s)=A_{11}U_2(s)+A_{12}(-I_2(s))=A_{11}U_2(s)+A_{12}Y_oU_2(s)$

$I_1(s)=A_{21}U_2(s)+A_{22}(-I_2(s))=A_{21}U_2(s)+A_{22}Y_oU_2(s)$

(3.15)

gdzie Y_o oznacza admitancję obciążenia (odwrotność impedancji Z_o, Y_o=1/Z_o). Z powyższych równań otrzymuje się

$Z_{we}(s)=\frac{U_1(s)}{I_1(s)}=\frac{A_{11}+A_{12}Y_o}{A_{21}+A_{22}Y_o}$

(3.16)

Impedancja wejściowa czwórnika obciążonego jest funkcją wszystkich parametrów łańcuchowych tego czwórnika. Pewne uproszczenia powstają w stanach szczególnych obciążeń. Na przykład w stanie jałowym na zaciskach wyjściowych ( $Y_o=0$ )

$Z_{we}(s)=\frac{A_{11}}{A_{21}}$

(3.17)

oraz w stanie zwarcia na wyjściu ( $Y_o=\infty$ )

$Z_{we}(s)=\frac{A_{12}}{A_{22}}$

(3.18)

impedancja wejściowa zależy wyłącznie od dwóch parametrów łańcuchowych. Identyczne zależności określające impedancje wejściową otrzymać można na podstawie dowolnego opisu czwórnikowego.

3.2

Wyznaczyć wyrażenie na transmitancję napięciową i impedancję wejściową czwórnika z przykładu 3.1

Rozwiązanie

Macierz łańcuchowa czwórnika z przykładu 3.1 ma postać

$\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}1+Z_1Y&Z_1+Z_2+Z_1Z_2Y\\Y&1+Z_2Y\\\end{matrix}\right]$

Transmitancja napięciowa w stanie jałowym na wyjściu jest więc równa

$T_u(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=\frac{1}{A_{11}}=\frac{1}{1+Z_1Y}=\frac{Z}{Z+Z_1}$

Wobec braku obciążenia czwórnika przez impedancję Z₂ nie przepływa prąd, stąd całe napięcie wyjściowe pochodzi z impedancji poprzecznej Z (dzielnik impedancyjny).

Impedancja wejściowa czwórnika przy obciążeniu bramy wyjściowej impedancją Z_o na podstawie wzoru (3.16) jest równa

$Z_{we}(s)=\frac{U_1(s)}{I_1(s)}=\frac{A_{11}+A_{12}Y_o}{A_{21}+A_{22}Y_o}=\frac{(1+Z_1Y)+(Z_1+Z_2+Z_1Z_2Y)Y_o}{Y+(1+Z_2Y)Y_o}$

Jest ona funkcją wszystkich parametrów układu oraz impedancji obciążenia.