3. Czwórniki

3.11. Impedancja wejściowa

Określenie funkcji impedancji wejściowej układu czwórnika wymaga ustalenia przy jakiej impedancji obciążenia badany jest czwórnik. Załóżmy w ogólności obciążenie czwórnika impedancją Zo. Z równań łańcuchowych czwórnika otrzymuje się

\(U_1(s)=A_{11}U_2(s)+A_{12}(-I_2(s))=A_{11}U_2(s)+A_{12}Y_oU_2(s)\)

\(I_1(s)=A_{21}U_2(s)+A_{22}(-I_2(s))=A_{21}U_2(s)+A_{22}Y_oU_2(s)\)

 (3.15)

 

gdzie Yo oznacza admitancję obciążenia (odwrotność impedancji Zo, Yo=1/Zo). Z powyższych równań otrzymuje się

\(Z_{we}(s)=\frac{U_1(s)}{I_1(s)}=\frac{A_{11}+A_{12}Y_o}{A_{21}+A_{22}Y_o}\) (3.16)

 

Impedancja wejściowa czwórnika obciążonego jest funkcją wszystkich parametrów łańcuchowych tego czwórnika. Pewne uproszczenia powstają w stanach szczególnych obciążeń. Na przykład w stanie jałowym na zaciskach wyjściowych (\(Y_o=0\))

\(Z_{we}(s)=\frac{A_{11}}{A_{21}}\) (3.17)

 

oraz w stanie zwarcia na wyjściu (\(Y_o=\infty\))

\(Z_{we}(s)=\frac{A_{12}}{A_{22}}\) (3.18)

 

impedancja wejściowa zależy wyłącznie od dwóch parametrów łańcuchowych. Identyczne zależności określające impedancje wejściową otrzymać można na podstawie dowolnego opisu czwórnikowego.

3.2

Wyznaczyć wyrażenie na transmitancję napięciową i impedancję wejściową czwórnika z przykładu 3.1

 

Rozwiązanie

Macierz łańcuchowa czwórnika z przykładu 3.1 ma postać

\(\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}1+Z_1Y&Z_1+Z_2+Z_1Z_2Y\\Y&1+Z_2Y\\\end{matrix}\right]\)

Transmitancja napięciowa w stanie jałowym na wyjściu jest więc równa

\(T_u(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=\frac{1}{A_{11}}=\frac{1}{1+Z_1Y}=\frac{Z}{Z+Z_1}\)

Wobec braku obciążenia czwórnika przez impedancję Z2 nie przepływa prąd, stąd całe napięcie wyjściowe pochodzi z impedancji poprzecznej Z (dzielnik impedancyjny).

Impedancja wejściowa czwórnika przy obciążeniu bramy wyjściowej impedancją Zo na podstawie wzoru (3.16) jest równa

\(Z_{we}(s)=\frac{U_1(s)}{I_1(s)}=\frac{A_{11}+A_{12}Y_o}{A_{21}+A_{22}Y_o}=\frac{(1+Z_1Y)+(Z_1+Z_2+Z_1Z_2Y)Y_o}{Y+(1+Z_2Y)Y_o}\)

Jest ona funkcją wszystkich parametrów układu oraz impedancji obciążenia.