Podręcznik: Zastosowanie grafu Masona w analizie obwodów ze wzmacniaczami

2. Grafy przepływu sygnałów Masona i ich zastosowania w analizie obwodów

2.2. Zastosowanie grafu Masona w analizie obwodów ze wzmacniaczami

Graf Masona można narysować dla każdego obwodu, w szczególności obwodu zawierającego wzmacniacze napięciowe, bez konieczności wypisywania układu równań opisujących ten obwód. Aby stworzyć reguły automatycznego tworzenia grafu rozpatrzmy wybrane rodzaje połączeń elementów składowych obwodu. Na rys. 2.3a przedstawiono typowe połączenie elementów pasywnych w węźle $k$ .

Rys. 2.3. Typowe połączenie elementów pasywnych w węźle (a) oraz graf Masona odpowiadający takiemu połączeniu (b)

Z prawa prądowego Kirchhoffa dla tego węzła wynika następujące równanie

$Y_{1}( V_{1} -V_{k}) +Y_{2}( V_{2} -V_{k}) +...+Y_{n}( V_{n} -V_{k}) =Y_{0k} V_{k}$

(2.5)

Po prostych przekształceniach otrzymuje się

$V_{k} =\frac{Y_{1}}{Y_{sk}} V_{1} +\frac{Y_{2}}{Y_{sk}} V_{2} +...+\frac{Y_{n}}{Y_{sk}} V_{n}$

(2.6)

gdzie $Y_{sk}$ jest sumą admitancji włączonych w węźle $k$ -tym, $Y_{sk} =Y_{0k} +\sum\limits ^{n}_{i=1} Y_{i}$ . Powyższemu równaniu odpowiada graf Masona przedstawiony na rys. 2.3b. Graf ten ma strukturę podobną do struktury obwodu, przy czym każdemu elementowi $Yi (i = 1, 2, ..., n)$ odpowiada wzmocnienie gałęzi grafu równe $\frac{Y_{i}}{Y_{sk}}$ . Każda gałąź jest skierowana do węzła $V_k$ , którego reprezentację graficzną w danej chwili tworzymy. Biorąc pod uwagę powyższe, graf odpowiadający węzłowi z rys. 2.17a może być utworzony automatycznie bez potrzeby pisania równań Kirchhoffa.
W przypadku obwodu zawierającego wzmacniacze napięciowe konieczne staje się podanie reguły tworzenia grafu odpowiadającego wzmacniaczowi. Na rys. 2.4a przedstawiony jest wzmacniacz napięciowy o dwu wejściach (inwersyjnym i nieinwersyjnym) o wzmocnieniu $A$ w obu torach (w szczególności wzmocnienie A może dążyć do nieskończoności, jak to ma miejsce w idealnych wzmacniaczach operacyjnych).

Rys. 2.4. Model wzmacniacza napięciowego o dowolnym wzmocnieniu A i dwu wejściach (a) i jego graf Masona (b)

Napięcie wyjściowe $V_o$ wzmacniacza opisuje wyrażenie

$V_o=AV_1-AV_2$

(2.7)

któremu można przyporządkować bezpośrednio graf Masona przedstawiony na rys. 2.4b.

Budując graf dla złożonego obwodu elektrycznego należy wyróżnić w nim węzły i związane z nimi potencjały węzłowe. Węzłem źródłowym (niezależnym) grafu jest źródło wymuszające istniejące w obwodzie, względem którego definiowana jest transmitancja $T$ . Z tego węzła sygnały mogą jedynie odpływać. Budowę grafu rozpoczynamy od ułożenia wszystkich węzłów grafu w układzie podobnym do ich rozmieszczenia w obwodzie. Następnie budujemy oddzielnie reprezentację graficzną dla każdego węzła reprezentującego zmienną zależną korzystając bądź z reguły dotyczącej węzła z elementami pasywnymi (rys. 2.3) bądź węzła odpowiadającego wzmacniaczowi (rys. 2.4). Jeśli węzeł położony jest na wyjściu wzmacniacza jego reprezentacja graficzna odpowiada wzmacniaczowi, w przeciwnym wypadku węzłowi „pasywnemu”.