Podręcznik

Takagi i Sugeno [9] zaproponowali schemat wielowymiarowego rozumowania rozmytego bazując na zbiorze specyficznych implikacji rozmytych, które, jak to pokażemy później, przy pewnych założeniach dodatkowych mogą być uważane za szczególne przypadki zmodyfikowanej implikacji Mamdaniego. Implikacja zaproponowana przez Takagi i Sugeno (T-S) ma następująca postać ogólną:

gdzie: $y$ – zmienna wyjściowa, której wartość podlega wnioskowaniu, $x_1$,…, $x_n$ – zmienne ostre poprzednika i następnika implikacji, $A_1$,…, $A_n$ – zbiory rozmyte o liniowych funkcjach przynależności reprezentujące podprzestrzenie rozważań, zmiennych $x_1$,…, $x_n$( , $f$ - funkcja logiczna określająca związek następnika i poprzednika implikacji, $g: \mathbb{R}^k\to \mathbb{R}$ – funkcja, która określa wartość zmiennej wyjściowej $y$.

Jak łatwo zauważyć implikacja T-S przypisuje stopień spełnienia funkcji ostrej wejść ostrych na podstawie oceny rozmytej poprzednika reguły. Czy nie jest to więc implikacja będąca szczególnym przypadkiem implikacji Mamdaniego? W tym celu musimy odpowiedzieć na pytanie czy następnik tej implikacji spełnia warunki konieczne funkcji rozmytej. Otóż w ogólnym przypadku można ostrą i zależną od wejść wartość wyjścia potraktować jako dynamiczny rozmyty zbiór singletonowy, ale tylko wtedy, gdy jego wysokość zawierać się będzie w przedziale domkniętym $[0,1]$. Takiego warunku jednak Takagi i Sugeno nie postawili. W sensie formalnym implikacja T-S nie może być więc uznana za szczególny przypadek implikacji Mamdaniego.

Gdybyśmy jednak zrelaksowali warunek na wysokość zbiorów rozmytych wyłącznie do poprzedników implikacji, to implikacja T-S mogłaby być uznana za specyficzną, zmodyfikowaną implikację Mamdaniego.

Wnioskowanie rozmyte z implikacją T-S realizowane jest w oparciu zarówno na pojedynczej jak i na w zbiorze reguł $R^{(n)}$