Podręcznik

Splot dwóch sygnałów jest opisany przekształceniem całkowym: 

Służy on do opisu układów (filtrów) liniowych o parametrach niezależnych od czasu. 

Rysunek 11 Filtracja sygnałów w czasie ciągłym

Przypomnijmy sobie co oznacza pojęcie liniowości. Filtr jest liniowy gdy spełnia zasadę superpozycji: 
Jeśli sygnał wejściowy jest kombinacją liniową dwóch sygnałów:  x(t) = a x₁(t) + b x₂(t), to sygnał wyjściowy jest również kombinacją liniową sygnałów, y(t) = a y₁(t) + b y₂(t) , z których pierwszy jest odpowiedzią filtru na pierwszy składnik sygnału wejściowego, a drugi – drugiego. 
Niezależność filtru od czasu oznacza, że opóźniony sygnał wejściowy x(t-t0), wywołuje reakcję filtru w postaci y(t-t0), tzn. przebieg czasowy sygnału wyjściowego ulega jedynie opóźnieniu, jego kształt pozostaje bez zmian. 
Jeżeli układ jest liniowy i niezależny od czasu, to sygnał wyjściowy jest splotem sygnału wejściowego i pewnego sygnału, zwanego odpowiedzią impulsową filtru. 

Rysunek 12 Sygnał wejściowy filtru jako ciąg impulsów

Aby to zrozumieć, przedstawmy sygnał wejściowy filtru jako ciąg krótkich impulsów prostokątnych (Rys.12).  Reakcję filtru na impuls pojawiający się w chwili $t_n$ pokazano na Rys.13. Jej kształt zależy od samego filtru, natomiast przesunięcie na skali czasu  zależy od położenia impulsu wejściowego (wynika to z niezależności parametrów filtru od czasu). Amplituda sygnału wyjściowego jest proporcjonalna do amplitudy impulsu (wynika to z liniowości filtru). Jest też proporcjonalna do jego czasu trwania pod warunkiem, że rozważamy bardzo krótkotrwałe impulsy. Ostatecznie reakcją filtru na impuls wejściowy pojawiający się w chwili tn będzie sygnał  $x\left(t_n\right)\ ∆t h(t-tn)$. 

Rysunek 13 Reakcja filtru na pierwszy z serii impulsów

Z liniowości filtru wynika również, że reakcja filtru na szereg impulsów (czyli sygnał wejściowy x(t)) jest sumą reakcji na pojedyncze impulsy. Suma we wzorze(10) może być zapisana w postaci całki splotowej:

$y(t)=\sum_{n}{x(t_n)h(t-t_n)\mathrm{\Delta t}}\rightarrow\int{x(\tau)h(t-\tau)d\tau}$

gdzie h(t) – odpowiedz impulsowa filtru. Nazwa jest uzasadniona, gdyż z Rys.13 wynika, że h(t) jest reakcją filtru na krótkotrwały impuls pojawiający się w chwili t=0, którego całka (w tym wypadku amplituda razy czas trwania) wynosi 1. Taki impuls nazywa się impulsem Diraca (lub deltą Diraca) i oznacza jako d(t). Gdy sygnał wejściowy filtru jest impulsem Diraca, to na wyjściu pojawi się odpowiedz impulsowa tego filtru: 

$x(t)=\delta(t)$