Podręcznik: Różniczkowanie

3. Transformata Fouriera (repetytorium)

3.5. Różniczkowanie

Znając transformatę sygnału x(t), obliczymy transformatę jego pochodnej $\frac{d}{dt}x(t)$ . Wychodząc od wzoru na transformatę odwrotną

$x(t)=F^{-1} [X(f)]=\int ^{\infty }_{-\infty } X(f)e^{j2πft} df$

obliczymy pochodną lewej i prawej strony:

$\frac{d}{dt} x(t)=\int ^{\infty }_{-\infty } X(f)[\frac{d}{dt} e^{j2πft} ]df=\int ^{\infty }_{-\infty } X(f)[j2πfe^{j2πft} ]df=\\=\int ^{\infty }_{-\infty } [j2πfX(f)]e^{j2πft} df=F^{-1} [j2πfX(f)]$

(22)

Następnie obliczymy transformatę Fouriera obu stron równości

$F\left[\frac{d}{dt}x\left(t\right)\right]=F\left\{F^{-1}\left[j2\pi fX\left(f\right)\right]\right\}=j2\pi fX(f)$

(23)

Wystarczy zatem pomnożyć widmo przez $j2\pi f=j\omega$ .